Logique Mathématique

Bonsoir à tous j'espere que vous allez bien . Pouvez-vous m'aider dans ces questions s'il vous plait

Soient a. b. x et y des réels non nuls . Montrer que : ax+by=1 implique 1/x au carre + y au carré inferieure ou égale à a au carré + b au carré
Déduire l'ensemble des solutions de l'équation : x au carré + 1/x au carré = 17/4
Soit n appartient a l'ensemble N etoile
Montrer que n au carre +1 n'est pas un carre parfais
Et Merci

@Medamine , bonsoir,

Ton écriture est confuse

Je suppose qu'il faut prouver que $1x2+y2≤a2+b2\dfrac{1}{x^2+y^2}\le a^2+b^2$

Piste possible pour la question 1)

Développe $a^2+b^2)(x^2+y^2)$ puis fais des regroupements , en ajoutant et retranchant le double produit $2 a b x y$ .

Tu dois trouver,
$a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(bx-ay)^2$

Vu que $a x + b y = 1$ , tu obtiens
$a^2+b^2)(x^2+y^2)=1+(bx-ay)^2$

Un carré est toujours positif (au sens large),
donc $(bx−ay)2≥0(bx-ay)^2\ge 0$
donc
$(a2+b2)(x2+y2)≥1(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge 1$

En divisant pat $x^2+y^2$ , tu obtiens
$(a2+b2)≥1x2+y2(a^2+b^2)\ge \dfrac{1}{x^2+y^2}$
c'est à dire
$1x2+y2≤a2+b2\dfrac{1}{x^2+y^2}\le a^2+b^2$

Revois cela et essaie de poursuivre.

@mtschoon Oui c'est ça l'énoncé Merci beaucoup pour la 1er question

@mtschoon Pour la 2éme question est-ce qu'il faut résoudre l'équation x^2+1/x^2=17/4

@mtschoon Desole pour l'ecriture
J'ai dit : x^2+1/x^2=2^2+1/2^2
Alors x = 2 ou x=1/2

@Medamine Bonjour,

Les questions sont-elles indépendantes ?

Pour la question 2, $x$ ne peut-il pas être négatif ?

@Noemi Oui elles sont indépendantes
et aussi les questions ne sont pas liées

@Medamine

Donc pour la question 2, résous l'équation en réduisant au même dénominateur.

@Noemi J'ai dit x^2+1/x^2=2^2+1/2^2
Alors x = 2 ou x=1/2

@Medamine

Tu as trouvé un résultat de façon intuitive, ce n'est pas une démonstration.

Si tu réduis au même dénominateur, tu obtiens l'équation :
$4x^4-17x^2+4= 0$
Tu résous cette équation en faisant un changement de variable : $X=x^2$
soit : $4X^2-17X=4=0$

Je te laisse poursuivre les calculs.

Bonjour,

Je regarde cette question 2 écrite et je reste perplexe...

@Medamine , tu indiques que les questions sont indépendantes alors que tu as écrit pour la question 2 :

"Déduire l'ensemble des solutions de l'équation :
x au carré + 1/x au carré = 17/4"

Il faut déduire de quoi ? de la question 1) (dans ce cas les questions ne seraient pas indépendantes , d'où contradiction ) ou d'une donnée que tu n'as pas indiquée ?

C'est bizarre...

Bien sûr, si ce "en déduire" est une erreur, fais ce que t'indique @Noemi et tu trouveras quatre solutions pour $x$ :
$2,−2,12,−122,-2,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}$

@mtschoon Mais precisemment les questions ne sont pas liees

@mtschoon desole mais les questions ne sont pas independantes j'ai corrigé ca

@Medamine , ce que tu dis n'est pas clair.

Si les questions ne sont pas liées, elle sont indépendantes et le "en déduire" que tu donnes dans ton énoncé n'a pas de sens si tu ne dis pas de quoi il faut déduire...
Regarde ton énoncé de près.

@Medamine ,

Si ce "en déduire" ne compte pas (!), tu résous de façon classique.

@Noemi a dit dans Logique Mathématique :

@Medamine

Tu as trouvé un résultat de façon intuitive, ce n'est pas une démonstration.

Si tu réduis au même dénominateur, tu obtiens l'équation :
$4x^4-17x^2+4= 0$
Tu résous cette équation en faisant un changement de variable : $X=x^2$
soit : $4X^2-17X=4=0$

Je te laisse poursuivre les calculs.

Bien sûr, faute de frappe que tu as modifiée:

il s'agit de $4X^2-17X+4=0$
Equation du second degré qui te donne, après calculs :
$X = 4$ ou $X=14X=\dfrac{1}{4}$

Vu qu $x^2=X$ , en résolvant ensuite $x^2=4$ et $x2=14x^2=\dfrac{1}{4}$ , tu trouves les quatre valeurs que je t'ai indiqué précédemment.

@Medamine , Pour la question 3), tu peux répondre simplement.

$n∈N∗n\in N^*$

Tu justifies que $n2<n2+1<(n+1)2n^2\lt n^2+1\lt (n+1)^2$

$n^2+1$ est compris au sens strict, entre les carrés de 2 naturels consécutifs, il ne peut pas être un carré parfait.

Bonne réflexion sur tout ça.

@mtschoon et @Noemi Merci beaucoup pour votre réponse

De rien @Medamine .
Tes questions 1) et 3) étaient claires, mais pour la 2), si tu peux, demande des informations à ton professeur sur
l'énoncé car c'est confus.