Limite de fonction, courbe


  • D

    Soit f la fonction définie sur R
    par f(x) = √x^2/x^2+1
    et sa courbe représentative C dans un repère d'origine O

    1. Justifier que f est dérivable sur ]-∞; O[ et sur ]0; +infini[.
    2. a. Démontrer que le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h est : r (h) =
      |h|/h√ 1/h^2+1 où h ≠ 0.
      b. Calculer la limite de r(h) en 0 à droite. On note cette limite f’d(0) et on dit que f est dérivable en 0 à droite.
      c. Calculer la limite de r(h) en 0 à gauche. On note cette limite f'g(0) et on dit que f est dérivable en 0 à gauche.
    3. La fonction f est dérivable en O si f’d(0) = f’g(0).
      La fonction f est-elle dérivable en 0?
    4. La courbe C admet au point O deux demi-tangentes de coefficients directeurs respectifs f’d(0) et f’g(0).
      Tracer dans un repère la courbe C et ses deux demi-tangentes en O.

    svp j’ai besoin d’aide pour cet exo, c’est un dm a rendre mais je ne comprends pas !
    PS: c’est une grande racine qui s’applique sur toute la division,
    HELPP PLEASEEE


  • mtschoon

    @julie1201 , bonjour,
    Ici, la politesse n'est pas une option.

    De plus, le multi-postage n'est pas autorisé.

    Je te mets un lien sur les consignes avant de poster
    https://forum.mathforu.com/topic/1383/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message


  • mtschoon

    @julie1201 ,

    Vu que tu n'utilises pas le Latex, il faut mettre des parenthèses pour que tes formules soient compréhensibles.

    Je suppose (?) que f(x)=x2x2+1f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}f(x)=x2+1x2

    Quelques pistes,

    1 ) La fonction xxx-> x2x2+1\dfrac{x^2}{x^2+1}x2+1x2 est définie et dérivable sur RRR comme quotient de deux fonctions définies et dérivables sur RRR (avec dénominateur non nul)

    Par contre la fonction XXX-> X\sqrt XX est définie pour X≥0X\ge 0X0 et dérivable pour X>0X\gt0X>0

    Ici : X=x2x2+1X=\dfrac{x^2}{x^2+1}X=x2+1x2

    Pour tout x réel, on a bien X≥0X\ge 0X0

    Par contre pour la dérivabilité X>0X\gt 0X>0 <=> x≠0x\ne 0x=0

    Conclusion :

    fff est définie sur R

    fff est dérivable sur ]−∞,0[]-\infty,0[],0[ et sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[


  • mtschoon

    Pour la 2), je ne comprends pas ce que tu as écrit pour le taux d'accroissement r(h)r(h)r(h) de la fonction f

    Je le calcule.
    A toi de voir si ça correspond à ton énoncé.
    r(h)=f(h)−f(0)hr(h)=\dfrac{f(h)-f(0)}{h}r(h)=hf(h)f(0)

    f(0)=0f(0)=0f(0)=0 donc :

    r(h)=f(h)h=h2h2+1×1hr(h)=\dfrac{f(h)}{h}=\sqrt{\dfrac{h^2}{h^2+1}}\times \dfrac{1}{h}r(h)=hf(h)=h2+1h2×h1

    r(h)=h2h2+1×1hr(h)=\dfrac{\sqrt{h^2}}{\sqrt{h^2+1}}\times \dfrac{1}{h}r(h)=h2+1h2×h1

    Or, h2=∣h∣\sqrt{h^2}=|h|h2=h

    Donc :

    r(h)=∣h∣h2+1×1hr(h)=\dfrac{|h|}{\sqrt{h^2+1}}\times \dfrac{1}{h}r(h)=h2+1h×h1

    f(h)=∣h∣h×1h2+1\boxed{f(h)= \dfrac{|h|}{h}\times \dfrac{1}{\sqrt{h^2+1}}}f(h)=hh×h2+11

    Je te laisse poursuivre pour trouver les limites à droite et à gauche de 0 et les déductions pour la dérivabilité en 0.

    Donne tes réponses si tu veux aide et/ou vérification.


  • D

    @mtschoon
    Excusez moi mais je n’arrivais pas à retrouver mon post donc j’ai reposé ma question et oui je suis nouvelle donc je ne m’y connais pas forcément.


  • D

    @mtschoon

    Merci pour ces reponses !
    j’ai aussi fait les questions des limites a gauche et a droite mais aucune idee si c’est bon ou pas :

    r(0)= √(1/0^2+1) = 1
    soit
    f’d(0)= 1

    r(0)= √(1/0^2+1) = 1
    soit f’g(0)=1

    donc f’d(0)=f’g(0)

    F est donc dérivable en 0


  • B

    @dricce2906 a dit dans Limite de fonction, courbe :

    @mtschoon

    Merci pour ces reponses !
    j’ai aussi fait les questions des limites a gauche et a droite mais aucune idee si c’est bon ou pas :

    r(0)= √(1/0^2+1) = 1
    soit
    f’d(0)= 1

    r(0)= √(1/0^2+1) = 1
    soit f’g(0)=1

    donc f’d(0)=f’g(0)

    F est donc dérivable en 0

    Bonjour,

    Il y a une erreur. la lim pour x --> 0- du taux d'accroissement est -1 et pas +1


  • D

    @Black-Jack
    Comment ça ? sur ma calculatrice j’obtiens 1 et non -1


  • B

    @dricce2906 a dit dans Limite de fonction, courbe :

    @Black-Jack
    Comment ça ? sur ma calculatrice j’obtiens 1 et non -1

    C'est que tu utilises mal ta calculette.

    f(h)=∣h∣h×1h2+1f(h) = \frac{|h|}{h} \times \frac{1}{ \sqrt{h^2 + 1}}f(h)=hh×h2+11

    Pour h --> 0- (donc très près de zéro MAIS négatif)

    Essaie par exemple avec h = -0,0001, il vient

    f(h)=∣h∣h×1h2+1f(h) = \frac{|h|}{h} \times \frac{1}{ \sqrt{h^2 + 1}}f(h)=hh×h2+11
    f(−0,0001)=∣−0,001∣−0,001×10,0012+1f(-0,0001) = \frac{|-0,001|}{-0,001} \times \frac{1}{\sqrt{0,001^2 + 1}}f(0,0001)=0,0010,001×0,0012+11
    f(−0,0001)=0,001−0,001×10,0012+1f(-0,0001) = \frac{0,001}{-0,001} \times \frac{1}{\sqrt{0,001^2 + 1}}f(0,0001)=0,0010,001×0,0012+11
    f(−0,0001)=−1×11,000001f(-0,0001) = -1 \times \frac{1}{\sqrt{1,000001}}f(0,0001)=1×1,0000011
    f(−0,0001)=−0,9999995f(-0,0001) = -0,9999995f(0,0001)=0,9999995

    Penses-tu encore que pour h --> 0- , f(h) tend vers 1 ou bien plutôt vers -1 ?


  • D

    @Black-Jack
    Mais pourtant je dois remplacer h par 0 donc ça fait : r(0)= 0/0 x 1/√0^2+1

    j’obtiens « erreur syntaxe »

    je crois que c’est les doubles barres de h que je ne comprends pas 😅 pourtant c’est bien valeur absolue? comment le faire sur la calculatrice ?

    Merci


  • B

    @dricce2906 a dit dans Limite de fonction, courbe :

    @Black-Jack
    Mais pourtant je dois remplacer h par 0 donc ça fait : r(0)= 0/0 x 1/√0^2+1

    j’obtiens « erreur syntaxe »

    je crois que c’est les doubles barres de h que je ne comprends pas 😅 pourtant c’est bien valeur absolue? comment le faire sur la calculatrice ?

    Merci

    Non, il ne faut pas remplacer h par 0

    |h| signifie "valeur absolue de h".

    Si tu remplaces h par 0, alors |h| = 0 et h = 0 ... et dans l'expression de f(h), |h|/h est une division de zéro par zéro ... ce qui ne peut jamais se faire.

    Pour voir ce qui se passe lorsque h s'approche de la valeur 0 (sans l'atteindre), il faut distinguer 2 cas.

    a)
    Si h s'approche de la valeur 0 (sans l'atteindre) en restant négatif, alors |h|/h s'approche de très près de la valeur -1 (il suffit d'essayer avec une valeur de h très proche de zéro mais négative) pour comprendre.

    Par exemple si h = -0,001 (donc près de zéro mais négatif), alors h = -0,001 et |h| = 0,001 et donc
    |h|/h = 0,001/(-0,001) = -1


    b)
    Si h s'approche de la valeur 0 (sans l'atteindre) en restant positif, alors |h|/h s'approche de très près de la valeur +1 (il suffit d'essayer avec une valeur de h très proche de zéro mais positive) pour comprendre.

    Par exemple si h = 0,001 (donc près de zéro mais positif), alors h = 0,001 et |h| = 0,001 et donc
    |h|/h = 0,001/0,001 = 1


    Si tu ne comprends pas la signification des || entourant le h ... va voir dans ton cours (ou sur le net) la notion de "valeur absolue".


  • mtschoon

    Bonsoir,

    @dricce2906 , si tu connais mal la notion de valeur absolue, tu peux consulter la vidéo ici :

    https://www.youtube.com/watch?v=5-rUuceEgAE


  • mtschoon

    @dricce2906 , bonsoir,

    J'espère que tu as pris le temps de consulter la vidéo.

    Si je résume :

    Pour h>0\boxed{h\gt 0}h>0 h2=∣h∣=h\sqrt{h^2}=|h|=hh2=h=h donc ∣h∣h=1\dfrac{|h|}{h}=1hh=1
    Donc r(h)=1h2+1r(h)=\dfrac{1}{\sqrt{h^2+1}}r(h)=h2+11

    lim⁡h→0,h>0r(h)=102+1=1\displaystyle \lim_{h \to 0, h\gt 0}r(h)=\dfrac{1}{\sqrt{0^2+1}}=1h0,h>0limr(h)=02+11=1

    111 est le nombre dérivée à droite de fff en 000

    Pour h<0\boxed{h\lt 0}h<0 h2=∣h∣=−h\sqrt{h^2}=|h|=-hh2=h=h donc ∣h∣h=−1\dfrac{|h|}{h}=-1hh=1
    Donc r(h)=−1h2+1r(h)=-\dfrac{1}{\sqrt{h^2+1}}r(h)=h2+11

    lim⁡h→0,h<0r(h)=−102+1=−1\displaystyle \lim_{h \to 0, h\lt 0}r(h)=-\dfrac{1}{\sqrt{0^2+1}}=-1h0,h<0limr(h)=02+11=1

    −1-11 est le nombre dérivée à gauche de fff en 000

    −1≠1\boxed{-1\ne 1}1=1 : tu tires la conclusion sur la non dérivabilité de fff en 0 (ça doit être dans ton cours)

    −1-11 et 111 sont les coefficients directeurs respectifs des deux demi-tangentes à la représentation graphique defff en 000

    Regarde tout ça de près et indique si c'est clair (ou non) pour toi.


  • D

    @mtschoon

    Merci beaucoup, oui j’ai pris le temps de regarder la video de Yvan Monka.

    Je comprends mieux, merci.
    En cours, on n’a jamais vu ca avec ma prof donc ca m’aide beaucoup.
    je pense pouvoir tracer les 2 demies tangentes car celle qui a un coefficient directeur negatif descend, et l’autre monte. Je verrai bien si j’y arrive.

    Encore merci.

    Julie


  • mtschoon

    @dricce2906 , je te joins la représentation graphique.
    Compare avec la tienne et demande si besoin

    La courbe est en bleu
    La demi-tangente à droite (Td)(T_d)(Td) au point O est en rouge.
    La demi-tangente à gauche (Tg)(T_g)(Tg) au point O est en vert.

    demi_tanagentes.jpg


  • D

    @mtschoon

    Merci beaucoup, effectivement je l’avais faite sur ma calculatrice et j’obtiens aussi cette courbe.
    Il ne me reste plus qu’à tracer mes demies tangentes.
    Merci.


  • mtschoon

    De rien @dricce2906 et bon DM !


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