Limite de fonction, courbe

Soit f la fonction définie sur R
par f(x) = √x^2/x^2+1
et sa courbe représentative C dans un repère d'origine O

Justifier que f est dérivable sur ]-∞; O[ et sur ]0; +infini[.
a. Démontrer que le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h est : r (h) =
|h|/h√ 1/h^2+1 où h ≠ 0.
b. Calculer la limite de r(h) en 0 à droite. On note cette limite f’d(0) et on dit que f est dérivable en 0 à droite.
c. Calculer la limite de r(h) en 0 à gauche. On note cette limite f'g(0) et on dit que f est dérivable en 0 à gauche.
La fonction f est dérivable en O si f’d(0) = f’g(0).
La fonction f est-elle dérivable en 0?
La courbe C admet au point O deux demi-tangentes de coefficients directeurs respectifs f’d(0) et f’g(0).
Tracer dans un repère la courbe C et ses deux demi-tangentes en O.

svp j’ai besoin d’aide pour cet exo, c’est un dm a rendre mais je ne comprends pas !
PS: c’est une grande racine qui s’applique sur toute la division,
HELPP PLEASEEE

@julie1201 , bonjour,
Ici, la politesse n'est pas une option.

De plus, le multi-postage n'est pas autorisé.

Je te mets un lien sur les consignes avant de poster
https://forum.mathforu.com/topic/1383/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message

@julie1201 ,

Vu que tu n'utilises pas le Latex, il faut mettre des parenthèses pour que tes formules soient compréhensibles.

Je suppose (?) que $f(x)=x2x2+1f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}$

Quelques pistes,

1 ) La fonction $x$ -> $x2x2+1\dfrac{x^2}{x^2+1}$ est définie et dérivable sur $R$ comme quotient de deux fonctions définies et dérivables sur $R$ (avec dénominateur non nul)

Par contre la fonction $X$ -> $X\sqrt X$ est définie pour $X≥0X\ge 0$ et dérivable pour $X>0X\gt0$

Ici : $X=x2x2+1X=\dfrac{x^2}{x^2+1}$

Pour tout x réel, on a bien $X≥0X\ge 0$

Par contre pour la dérivabilité $X>0X\gt 0$ <=> $x≠0x\ne 0$

Conclusion :

$f$ est définie sur R

$f$ est dérivable sur $]−∞,0[]-\infty,0[$ et sur $]0,+∞[]0,+\infty[$

Pour la 2), je ne comprends pas ce que tu as écrit pour le taux d'accroissement $r (h)$ de la fonction f

Je le calcule.
A toi de voir si ça correspond à ton énoncé.
$r(h)=f(h)−f(0)hr(h)=\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$

$f (0) = 0$ donc :

$r(h)=f(h)h=h2h2+1×1hr(h)=\dfrac{f(h)}{h}=\sqrt{\dfrac{h^2}{h^2+1}}\times \dfrac{1}{h}$

$r(h)=h2h2+1×1hr(h)=\dfrac{\sqrt{h^2}}{\sqrt{h^2+1}}\times \dfrac{1}{h}$

Or, $h2=∣h∣\sqrt{h^2}=|h|$

Donc :

$r(h)=∣h∣h2+1×1hr(h)=\dfrac{|h|}{\sqrt{h^2+1}}\times \dfrac{1}{h}$

$f(h)=∣h∣h×1h2+1\boxed{f(h)= \dfrac{|h|}{h}\times \dfrac{1}{\sqrt{h^2+1}}}$

Je te laisse poursuivre pour trouver les limites à droite et à gauche de 0 et les déductions pour la dérivabilité en 0.

Donne tes réponses si tu veux aide et/ou vérification.

@mtschoon
Excusez moi mais je n’arrivais pas à retrouver mon post donc j’ai reposé ma question et oui je suis nouvelle donc je ne m’y connais pas forcément.

@mtschoon

Merci pour ces reponses !
j’ai aussi fait les questions des limites a gauche et a droite mais aucune idee si c’est bon ou pas :

r(0)= √(1/0^2+1) = 1
soit
f’d(0)= 1

r(0)= √(1/0^2+1) = 1
soit f’g(0)=1

donc f’d(0)=f’g(0)

F est donc dérivable en 0

@dricce2906 a dit dans Limite de fonction, courbe :

@mtschoon

Merci pour ces reponses !
j’ai aussi fait les questions des limites a gauche et a droite mais aucune idee si c’est bon ou pas :

r(0)= √(1/0^2+1) = 1
soit
f’d(0)= 1

r(0)= √(1/0^2+1) = 1
soit f’g(0)=1

donc f’d(0)=f’g(0)

F est donc dérivable en 0

Bonjour,

Il y a une erreur. la lim pour x --> 0- du taux d'accroissement est -1 et pas +1

@Black-Jack
Comment ça ? sur ma calculatrice j’obtiens 1 et non -1

@dricce2906 a dit dans Limite de fonction, courbe :

@Black-Jack
Comment ça ? sur ma calculatrice j’obtiens 1 et non -1

C'est que tu utilises mal ta calculette.

$\frac{|h|}{h} \times \frac{1}{ \sqrt{h^2 + 1}}$

Pour h --> 0- (donc très près de zéro MAIS négatif)

Essaie par exemple avec h = -0,0001, il vient

$\frac{|h|}{h} \times \frac{1}{ \sqrt{h^2 + 1}}$
$\frac{|-0,001|}{-0,001} \times \frac{1}{\sqrt{0,001^2 + 1}}$
$\frac{0,001}{-0,001} \times \frac{1}{\sqrt{0,001^2 + 1}}$
$\times \frac{1}{\sqrt{1,000001}}$
$f (- 0, 0001) = - 0, 9999995$

Penses-tu encore que pour h --> 0- , f(h) tend vers 1 ou bien plutôt vers -1 ?

@Black-Jack
Mais pourtant je dois remplacer h par 0 donc ça fait : r(0)= 0/0 x 1/√0^2+1

j’obtiens « erreur syntaxe »

je crois que c’est les doubles barres de h que je ne comprends pas pourtant c’est bien valeur absolue? comment le faire sur la calculatrice ?

Merci

@dricce2906 a dit dans Limite de fonction, courbe :

@Black-Jack
Mais pourtant je dois remplacer h par 0 donc ça fait : r(0)= 0/0 x 1/√0^2+1

j’obtiens « erreur syntaxe »

je crois que c’est les doubles barres de h que je ne comprends pas pourtant c’est bien valeur absolue? comment le faire sur la calculatrice ?

Merci

Non, il ne faut pas remplacer h par 0

|h| signifie "valeur absolue de h".

Si tu remplaces h par 0, alors |h| = 0 et h = 0 ... et dans l'expression de f(h), |h|/h est une division de zéro par zéro ... ce qui ne peut jamais se faire.

Pour voir ce qui se passe lorsque h s'approche de la valeur 0 (sans l'atteindre), il faut distinguer 2 cas.

a)
Si h s'approche de la valeur 0 (sans l'atteindre) en restant négatif, alors |h|/h s'approche de très près de la valeur -1 (il suffit d'essayer avec une valeur de h très proche de zéro mais négative) pour comprendre.

Par exemple si h = -0,001 (donc près de zéro mais négatif), alors h = -0,001 et |h| = 0,001 et donc
|h|/h = 0,001/(-0,001) = -1

b)
Si h s'approche de la valeur 0 (sans l'atteindre) en restant positif, alors |h|/h s'approche de très près de la valeur +1 (il suffit d'essayer avec une valeur de h très proche de zéro mais positive) pour comprendre.

Par exemple si h = 0,001 (donc près de zéro mais positif), alors h = 0,001 et |h| = 0,001 et donc
|h|/h = 0,001/0,001 = 1

Si tu ne comprends pas la signification des || entourant le h ... va voir dans ton cours (ou sur le net) la notion de "valeur absolue".

Bonsoir,

@dricce2906 , si tu connais mal la notion de valeur absolue, tu peux consulter la vidéo ici :

https://www.youtube.com/watch?v=5-rUuceEgAE

@dricce2906 , bonsoir,

J'espère que tu as pris le temps de consulter la vidéo.

Si je résume :

Pour $h>0\boxed{h\gt 0}$ $h2=∣h∣=h\sqrt{h^2}=|h|=h$ donc $∣h∣h=1\dfrac{|h|}{h}=1$
Donc $r(h)=1h2+1r(h)=\dfrac{1}{\sqrt{h^2+1}}$

$lim⁡h→0,h>0r(h)=102+1=1\displaystyle \lim_{h \to 0, h\gt 0}r(h)=\dfrac{1}{\sqrt{0^2+1}}=1$

$1$ est le nombre dérivée à droite de $f$ en $0$

Pour $h<0\boxed{h\lt 0}$ $h2=∣h∣=−h\sqrt{h^2}=|h|=-h$ donc $∣h∣h=−1\dfrac{|h|}{h}=-1$
Donc $r(h)=−1h2+1r(h)=-\dfrac{1}{\sqrt{h^2+1}}$

$lim⁡h→0,h<0r(h)=−102+1=−1\displaystyle \lim_{h \to 0, h\lt 0}r(h)=-\dfrac{1}{\sqrt{0^2+1}}=-1$

$- 1$ est le nombre dérivée à gauche de $f$ en $0$

$−1≠1\boxed{-1\ne 1}$ : tu tires la conclusion sur la non dérivabilité de $f$ en 0 (ça doit être dans ton cours)

$- 1$ et $1$ sont les coefficients directeurs respectifs des deux demi-tangentes à la représentation graphique de $f$ en $0$

Regarde tout ça de près et indique si c'est clair (ou non) pour toi.

@mtschoon

Merci beaucoup, oui j’ai pris le temps de regarder la video de Yvan Monka.

Je comprends mieux, merci.
En cours, on n’a jamais vu ca avec ma prof donc ca m’aide beaucoup.
je pense pouvoir tracer les 2 demies tangentes car celle qui a un coefficient directeur negatif descend, et l’autre monte. Je verrai bien si j’y arrive.

Encore merci.

Julie

@dricce2906 , je te joins la représentation graphique.
Compare avec la tienne et demande si besoin

La courbe est en bleu
La demi-tangente à droite $T_d)$ au point O est en rouge.
La demi-tangente à gauche $T_g)$ au point O est en vert.

@mtschoon

Merci beaucoup, effectivement je l’avais faite sur ma calculatrice et j’obtiens aussi cette courbe.
Il ne me reste plus qu’à tracer mes demies tangentes.
Merci.

De rien @dricce2906 et bon DM !