Prepa 1er année pcsi dm en maths

Bonjour, bonsoir
Je suis bloquée sur une question en mathématiques voici l’exercice;
Exercice 1:
Le plan muni d’un repère orthonormé direct (O,i,j)
Soient A(-2+3i) et B(1-3i)
Zdesigne un élément de l’ensemble E défini par:
E = C{-2+3i}
On considère la fonction d définie sur E par
F(z)= (z-1 + 3i)/(z+2-3i)

Déterminer et construire l’ensemble Ek des points M(z) du plan tel que |f(z)|=k pour k=1 puis pour k=2
2.déterminer l’ensemble À des points Mz tels que argf(z)= pi/2 (modulo pi)
3 déterminer l’intersection de E1 avec E2
4 Montrer que f est une bijection de E si C{1}

J’ai essayé de commencer en faisant :
Pour la première question pour k=1 ,
On a T la médiatrice de [AB]
Pour k=2 on a (z-1 + 3i)/(z+2-3i)=2 , je suis ps sure mais j’ai posé z=x +iy
Que j’ai remplacé dans l’égalité : (z-1 + 3i)=2(z+2-3i)
J’ai ensuite élevée au carré.
Je sais que |a +ib|= a^2 + b^2 du coup j’ai appliqué la formule, pour ensuite développer et trouver une équation de cercle avec un rayon et un centre A(-xo:-y0)
Pour la question 2 , je galère vraiment.
Je sais que arg((z-(1 - 3i)/(z-(-2+3i))= arg (z-(1 - 3i)-arg(z-(-2+3i))
J’ai essayé de chercher l’argument de 1-3i et -2+3i. Mis à part ça j’ai pas trop d’idée, par quoi commencer etc..
Puis les 2 autres questions je sais pas non plus comment faire
Si vous pouvez me donner une piste histoire que je puisse avancer. Merci bcp!

@Shuishi Bonjour,

Si l'argument d'un nombre complexe est égal à $π2\dfrac{\pi}{2}$ , que peut-on dire du nombre complexe ?

@Noemi si on a un argument = pi/2 ça veut dire qu’on a un imaginaire pur étant donnée qu’il se situe sur l’ordonnée

@Shuishi

Oui, donc cherche pour quel $z$ , $F (z)$ est un imaginaire pur.

Petite correction : il faut déterminer l’ensemble A des points des points M(z) *

@Noemi si on souhaite obtenir un imaginaire pur il faut qu’on ait : z = 0 + ialpha puisqu’il y a une infinité ?

@Shuishi

Remplace $z$ par $x + i y$ puis détermine en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de $F (z)$ .

@Noemi ohh Mercii !! , ça voudrait dire lorsque je développe, j’ai :

(X-1)/(x^2 + 4x + 13+ y^2 - 6y) + i(xy + y + 3x + 3/x^2 + 4x + 13 + y^2 -6y)

Pour avoir un imaginaire pur il faut que le numérateur de la partie réelle soit égal à 0.
On vient de répondre à la question ? Je pensais qu’il faillait faire quelques chose de plus complexes ^^ A moins que je me suis trompée

@Shuishi erreur de calcul!! Désolée 🥲 j’me suis trompée au numérateur

@Shuishi

Oui, vérifie tes calculs.

@Noemi ok j’me suis corrigée , comment suis-je censée conclure du coup ? Merci de votre aide !

@Shuishi

La partie réelle doit être nulle, tu déduis l'ensemble solution.

@Noemi très bien !! Merci bcp de votre aide. Concernant la question 3 puis-je avoir quelques indices .
J’ai pas trop d’idée

@Shuishi

Détermine les ensembles E1 et E2.

@Shuishi faudrait sûrement reprendre la question 1 pour pouvoir y répondre je crois? Pour k=1 et k=2 ?

@Shuishi

Oui, tu cherches l'intersection des ensembles trouvés à la question 1, mais la réponse proposée à la question 1 est à revoir, c'est les modules des nombres complexes qu'il faut calculer et non écrire $f (z) = 1$ .

@Noemi je suis censée trouver une pente pour le module de 1 ?

@Shuishi

Tu dois trouver un ensemble, par exemple l'équation d'une droite.

@Noemi ouii c’est ce que je trouve

@Shuishi

Oui et pour le module de 2 ?

@Noemi je trouve une équation du type :
(X-x0)^2 + (y-y0)^2 = R^2
La vraie équation que j’ai trouvé :
(X+3)^2 + (y+ 7/2)^2 = 37/4

@Shuishi

Vérifie tes calculs.

@Noemi ok , j’ai tout refait j’espère ne pas m’être trompée cette fois-ci :
J’ai trouvé :
(X+3)^2 + (y-5)^2= 20

@Shuishi du coup pour la question 3 il faudrait résoudre un système ? Et à partir de là on peut trouver des coordonnées

@Shuishi

Vérifie le calcul. Oui pour la question 3, tu résous un système.