Majorer une suite en terminale

Bonjour, je suis en terminal et il y a un DM sur lequel je bloque.

On nous donne la suite:

(Un) : Un = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² +… + 1/n²

J’ai déjà démontré qu’elle était croissante mais on me demande de la majorer et je n’y arrive pas.

@dinoravaje Bonjour,

Une piste : tous les termes à partir du second ( $14\dfrac{1}{4}$ ) sont inférieur à $13\dfrac{1}{3}$ .

@Noemi Merci je vais explorer cette piste.

Bonjour,

On te demande de majorer la suite ... pas de trouver sa valeur maximale.

Il suffit donc de montrer que la suite ne peut pas avoir une valeur supérieure à un certain nombre (n'importe lequel)

a) montrer que la suite est croissante.
...

b) Montrer par récurrence que Un <= 2 - 1/n pour tout n de N*

Supposons que Un <= 2 - 1/n est vrai pour une certaine valeur k de n, on a alors :
U(k) <= 2 - 1/k
U(k) + 1/(k+1)² <= 2 - 1/k + 1/(k+1)²
U(k+1) <= 2 - 1/k + 1/(k+1)²
U(k+1) <= 2 - ((k+1)² - k)/(k.(k+1)²)
U(k+1) <= 2 - (k²+k+1)/(k.(k+1)²)
U(k+1) <= 2 - (k+1 + 1/k)/(k+1)²
U(k+1) <= 2 - 1/(k+1) - 1/(k.(k+1)²
et donc a fortiori : U(k+1) <= 2 - 1/(k+1)

Donc si Un <= 2 - 1/n est vrai pour une certaine valeur k de n; c'est encore vrai pour n = k+1

On vérifie que Un <= 2 - 1/n pour k = 1 ...

Et on conclut que Un <= 2 - 1/n est vrai pour tout n de N*

Et par conséquent 2 est une valeur majorante de Un

Attention, cela ne signifie pas que Un tend vers 2, mais seulement que Un est <= 2 pour toute valeur de n (et que donc 2 est UNE valeur majorante de Un)

On peut montrer (mais c'est bien plus compliqué) que Un tend vers Pi²/6, mais ce n'est pas demandé (du moins dans la partie d'énoncé donnée ici).

Bonjour,

Bien sûr, la méthode par récurrence pour prouver que $Un≤2−1nU_n\le 2-\dfrac{1}{n}$ est un grand classique,
On la trouve un peu partout.
Par exemple ici :
https://www.youtube.com/watch?v=0ndlgxfsBok

Mais, faut-il que l'énoncé l'indique...ce que @dinoravaje ne dit pas...

Peut-être que @dinoravaje donnera des précisions sur sa question

A suivre...

@mtschoon a dit dans Majorer une suite en terminale :

Bonjour,

Bien sûr, la méthode par récurrence pour prouver que $Un≤2−1nU_n\le 2-\dfrac{1}{n}$ est un grand classique,
On la trouve un peu partout.
Par exemple ici :
https://www.youtube.com/watch?v=0ndlgxfsBok

Mais, faut-il que l'énoncé l'indique...ce que @dinoravaje ne dit pas...

Peut-être que @dinoravaje donnera des précisions sur sa question

A suivre...

Bonjour,

Un étudiant a des outils (ordi et le web par exemple) pour arriver à se débrouiller quand on ne lui a pas mâché la besogne en lui fournissant 10 sous questions qui l'amènent sans réfléchir à la solution.

C'est ainsi qu'il devra travailler sorti de l'école, même si on ne le lui dit pas dans l'enseignement...

Comme c'est un "grand classique", il devrait donc être facile de le dénicher en cherchant moins d'une minute sur le net.
Cela fait partie du job de l'étudiant pour un travail à domicile... même si ce n'est pas dans la ligne inculquée par l'enseignement.

Non ?

Bonsoir,

En faisant une recherche rapide (on trouve tout sur le web!) , je viens de m'apercevoir que @dinoravaje a fait du "bi-postage" (un simple copié-collé de l'énoncé) entre ce forum et un autre.
Comme les aidants s'interrogeaient aussi sur cette question de majoration, @dinoravaje a indiqué une question préliminaire qu'il n'avait pas donné, n'ayant pas vu le lien.

Je l'indique pour consultation éventuelle, non pour @dinoravaje vu qu'il a déjà eu la réponse, mais pour d'autres qui pourraient être intéressés.

Complément d'énoncé :
$V_n)$ est la suite définie par $Vn=Un+1nV_n=U_n+\dfrac{1}{n}$
Prouver que $V_n)$ est décroissante, puis montrer que $U_n)$ est majorée.

Piste rapide :
$Vn+1−Vn=1(n+1)2−1(n+1)nV_{n+1}-V_n=\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{(n+1)n}$
$Vn+1−Vn<0V_{n+1}-V_n\lt 0$ donc $V_n)$ décroissante.
Conclusion :
Pour tout $n$ de $N^*$ , on a :
$Un<Vn<...<V1U_n\lt V_n\lt...\lt V_1$ donc $Un<V1U_n\lt V_1$
$V_1=U_1+1=2$
Donc : $Un<2U_n\lt 2$
La suite $U_n)$ est majorée par 2

Voila ce que voulait l'énoncé, mais on ne nous l'avait pas dit...

Bonjour,

Une alternative (sans la piste fournie ...)

Pour n >= 2 :

1/n² < (1/(n.(n-1))

1/n² < 1/(n-1) - 1/n

Donc la somme < 1 + (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + 1/(n-1) - 1/n

Presque tout se simplifie et il reste :

S <= 1 + 1/1 - 1/n

S <= 2 - 1/n

Remarque, on peut un peu peaufiner (pour être plus rigoureux) en séparant les cas n impair ou pair, en regroupant les résultats on arrive pareillement à montrer que 2 est une valeur majorante de la suite.