Généralités sur les fonctions

On considère $f(x)=x+1−2x−1f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt2}{x-1}$

Déterminer le domaine de définition Df
Étudier le signe de f
Montrer que : (pour toutx>1) f(x)<ou égale à √2/4
Montrer que : f est bornée sur Df

Fonction écrite en Latex par la modération du site.

@Medamine Bonsoir (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Je suppose que $\sqrt{x+1}-\sqrt2$
dans ce cas résous $\geq 0$

@Noemi c'est à dire √x+1-√2>ou égale à -√2

@Medamine

Non, pour le domaine de définition, tu résous l'inéquation :
$\geq 0$
Soit $x≥.....x\geq .....$ puis tu déduis le domaine de définition.

@Noemi x> ou égale à -1
C'est à dire Df =]- l'infini ;-1] U[-1;+ l'infini [

@Medamine

Non
$x$ doit être supérieur ou égal à -1.
$Df=[−1;+∞[D_f=[-1;+\infty[$

@Noemi Oui j'ai compris
Et pour étudier le signe de f ,il faut utiliser le tableau de signe

@Medamine

je viens de remarquer que tu avez écrit : le tout sur $x - 1$ ,
la fonction est-elle :
$=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt2}{x-1}$ ?
dans ce cas, $x$ doit être différent de 1,
Donc $Df=[−1;1[∪]1;+∞[D_f= [-1;1[\cup]1;+\infty[$

Pour la question sur le signe de la fonction, fais un tableau de signes.
$x$
$x+1−2\sqrt{x+1}-\sqrt2$
${x-1}$

@Noemi oui l'énoncé est ça
j'ai fais un tableau de signe aussi et j'ai compris cette question
Je n'ai pas compris la troisième question

@Medamine

Calcule :
$(x+1−2)(x+1+2)(x−1)(x+1+2)=...\dfrac{(\sqrt{x+1}-\sqrt2)(\sqrt{x+1}+\sqrt2)}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt2)}=...$

@Noemi = 1/√x+1 +√2

@Medamine

Oui,

Si $x$ tend vers 1 par valeur positive, cela donne .....
Il reste à prouver que la fonction est décroissante pour $x$ supérieur à 1.

@Noemi pour prouver que la fonction est décroissante , est-ce qu'il faut utiliser le taux de variations

@Medamine

Oui, le taux de variation ou la dérivée.

@Noemi c'est difficile de trouver le taux de variation tu peux me montrer comment s'il vous plait

@Medamine
Ecris : $f(x)−f(x0)x−x0=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=$

@Noemi f(x)-f(x0) /x-x0 =1/√x+1+√2 -1/√x0+1 +√2 le tout sur /x-x0

@Medamine

$f(x)−f(x0)x−x0=x+1−2−x0+1+2x−x0=x+1−x0+1x−x0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt2-\sqrt{x_0+1}+\sqrt2}{x-x_0}=\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x_0+1}}{x-x_0}$

Multiplie numérateur et dénominateur par $x+1+x0+1\sqrt{x+1}+\sqrt{x_0+1}$

@Noemi est ce que c'est x-x0 / √x+1×x +√x0+1×x -√x+1×x0 -√x0+1 ×x0

@Medamine

$x−x0(x−x0)(x+1+x0+1)=1x+1+x0+1\dfrac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x+1}+\sqrt{x_0+1})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x_0+1}}$

@Noemi D'apres le domaine de definition donc on peut dire que x+1 superieure a 0 et x0 +1 superieure aussi a 0

@Medamine

J'ai encore oublié le dénominateur de la fonction
reprend les calculs à partir de
$f(x)−f(x0)x−x0=....\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=....$

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@Noemi √x+1-√2×(x0-1)-(√x0+1-√2×(x-1))/ (x-1)(x0-1)

@Medamine

Pour simplifier les calculs, écris $f (x)$ sous la forme :
$\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt2}{x-1}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt2}$
puis calcule
$f(x)−f(x0)=x0+1−x+1(x+1+2)(x0+1+2)=x0−x(x+1+2)(x0+1+2)(x0+1+x+1)f(x)-f(x_0)= \dfrac{\sqrt{x_0+1}-\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt2)(\sqrt{x_0+1}+\sqrt2)}= \dfrac{x_0-x}{(\sqrt{x+1}+\sqrt2)(\sqrt{x_0+1}+\sqrt2)(\sqrt{x_0+1}+\sqrt{x+1})}$
Puis tu écris :
$f(x)−f(x0)x−x0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ et tu en déduis le signe

@Noemi ça nous donne
1/(√x+1+√2)(√x0+1+√2)(√x0+1+√x+1)

@Medamine

Il manque le signe moins :
$−1(x+1+2)(x0+1+2)(x0+1+x+1)\dfrac{-1}{(\sqrt{x+1}+\sqrt2)(\sqrt{x_0+1}+\sqrt2)(\sqrt{x_0+1}+\sqrt{x+1})}$

d'ou fonction décroissante chaque terme du dénominateur étant supérieur à 0.

@Noemi donc la fonction est decroissante

@Noemi et qu'elle est la relation avec f(x) < ou égale à √2/4

@Medamine

Pour $x$ strictement supérieur à 1, la fonction est strictement décroissante, donc son maximum est atteint pour $x$ proche de 1 par valeur supérieure.
Tu écris
$\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt2}$ et tu calcules sa valeur pour $x$ proche de 1.
Tu trouves : $122=24\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$

Pour la question 4, détermine les limites aux bornes du domaine de définition.

@Noemi la question 4 je l'ai compris Merci beaucoup

@Medamine

Parfait si tu as terminé l'exercice.

@Noemi Merci beaucoup