Dm de maths sur les suites


  • V

    Bonjour,
    Je bloque sur mon devoir maison de maths, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
    Voici l'énoncé :

    On considère la suite (Un) définie par u0= 1 et Un+1=12(Un+2Un)Un+1 = \frac{1}{2} (Un+\frac{2}{Un})Un+1=21(Un+Un2) pour tout entier naturel n.

    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0.

    2. Démontrer que pour tout n appartenant à N, Un+12−2=(Un2−22Un)2Un+1^2 -2 = (\frac{Un^2- 2}{2Un})^2Un+122=(2UnUn22)2

    3. En déduire que pour tout n >= 1 , Un >= racine carrée de 2

    Pour la 1ère question, j'ai pu faire ceci :

    • Soit la suite (Un) définie par u0 = 1 et Un+1=12(Un+2Un)Un+1 = \frac{1}{2} (Un+ \frac{2}{Un})Un+1=21(Un+Un2)

    Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0.

    Initialisation : Pour n= 0

    1>0 donc U0>0.

    La propriété est donc vraie pour n=0

    Hérédité : Supposons que pour un certain entier n, Un >0. Démontrons que : Un+1 >0

    On a :
    Un>0

    Un+2Un\frac{2}{Un} Un2> 2Un\frac{2}{Un}Un2

    12(Un+2Un)\frac{1}{2} (Un+\frac{2}{Un}) 21(Un+Un2)> 22Un\frac{2}{2Un}2Un2

    Un+1 > 22Un\frac{2}{2Un}2Un2

    Et pour après je ne sais pas trop comment continuer.

    Pour la deuxième question, j'ai essayé de passer par le membre de gauche mais je ne retombe pas sur le résultat attendu :

    (Un+1)2−2(Un+1)^2 - 2 (Un+1)22
    = (12(Un+2Un))2−2(\frac{1}{2} (Un+\frac{2}{Un}))^2 -2(21(Un+Un2))22

    = 14(Un+2Un)2−2\frac{1}{4}(Un+\frac{2}{Un})^2 - 241(Un+Un2)22

    = 14(Un2+2×Un×2Un+(2Un)2)\frac{1}{4} ( Un^2 + 2×Un× \frac{2}{Un} +(\frac{2}{Un})^2 )41(Un2+2×Un×Un2+(Un2)2) -2

    = 14(Un2+4UnUn\frac{1}{4} (Un^2 + \frac{4Un}{Un} 41(Un2+Un4Un+ 4Un2)\frac{4}{Un^2})Un24)-2

    = Un24\frac{Un ^2 }{4 }4Un2+4Un4Un\frac{4Un}{4Un}4Un4Un+ 44Un2\frac{4}{4Un^2}4Un24 - 2
    = (Un3+4Un)4Un\frac{(Un ^ 3 + 4 Un)} { 4 Un}4Un(Un3+4Un) + 44Un2\frac{4} {4 Un ^2} 4Un24- 2
    = Un6+8Un2+4−8Un24Un2\frac{Un^6 + 8Un^2 +4 - 8Un ^2} {4Un ^2}4Un2Un6+8Un2+48Un2

    =Un6+44Un2\frac{Un^6 +4}{ 4Un ^2}4Un2Un6+4

    = (Un3+22Un)2(\frac{Un^3+2}{2Un})^2(2UnUn3+2)2


  • N
    Modérateurs

    @Vani94 Bonjour,

    Si Un>0U_n\gt0Un>0, 1Un>0\dfrac{1}{U_n}\gt0Un1>0 donc .....

    Un24+1+1Un2−2=Un24−1+1Un2\dfrac {U_n^2}{4}+1+\dfrac{1}{U_n^2}-2=\dfrac {U_n^2}{4}-1+\dfrac{1}{U_n^2}4Un2+1+Un212=4Un21+Un21
    Un4−4Un2+44Un2=...\dfrac{U_n^4-4U_n^2+4}{4U_n^2}= ...4Un2Un44Un2+4=...


  • V

    @Noemi

    Bonjour,

    Merci beaucoup pour l'aide, mais j'ai un peu de mal à calculer Un4−4Un2Un^4- 4Un^2Un44Un2, pouvez-vous me guider un peu s'il vous plaît ?


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    Un24+1+1Un2−2=Un24−1+1Un2\dfrac {U_n^2}{4}+1+\dfrac{1}{U_n^2}-2=\dfrac {U_n^2}{4}-1+\dfrac{1}{U_n^2}4Un2+1+Un212=4Un21+Un21
    Tu réduis au même dénominateur, soit 4Un24U_n^24Un2
    Un2×Un2−1×4Un2+1×44Un2\dfrac{U_n^2\times U_n^2-1\times 4U_n^2+1\times4}{4U_n^2}4Un2Un2×Un21×4Un2+1×4

    Un4−4Un2+44Un2=...\dfrac{U_n^4-4U_n^2+4}{4U_n^2}= ...4Un2Un44Un2+4=...

    Ensuite au numérateur c'est une identité remarquable (Un2−2)2(U_n^2-2)^2(Un22)2


  • V

    @Noemi

    D'accord, merci beaucoup pour votre aide


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    C'est parfait si tu as tout compris.


  • V

    @Noemi

    Néanmoins, je ne comprends pas en quoi la réponse à la 2ème question est utile à la 3ème.


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    Tu as : Un+12=2+(Un2−22Un)2U_{n+1}^2= 2+ (\dfrac{U_n^2-2}{2U_n})^2Un+12=2+(2UnUn22)2

    2 + un carré donc supérieur ou égal à 2.
    Et si tu prends la racine carré.
    ....


  • V

    @Noemi

    Oui mais je prouve juste que Un+1 est supérieur ou égal à racine de 2 or pour Un je sais juste que c'est supérieur à 0.


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    A partir de la relation, tu peux écrire Un2U_n^2Un2 en fonction de Un−1U_{n-1}Un1


  • V

    @Noemi

    Un2Un^2 Un2= racine de 2 - U02+22Un\frac{U0^2+2}{2Un}2UnU02+2 ?


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    Non,

    Un2=2+(Un−12−22Un−1)2U_n^2= 2+(\dfrac{U_{n-1}^2-2}{2U_{n-1}})^2Un2=2+(2Un1Un122)2


  • V

    @Noemi

    Mais pourquoi une écriture de Un2Un^2Un2 en fonction de Un−1U_{n-1}Un1 est possible ??


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    La relation est vraie pour tout nnn positif ou nul.


  • V

    @Noemi

    Donc vous dites que si Un > 0 est vrai pour tout n positif ou négatif sachant que je peux écrire un+1u_{n+1}un+1 en fonction de Un, je peux écrire Un2Un^2Un2 en fonction de un−1u_{n-1}un1 ??


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    La condition Un>0U_n\gt0Un>0 n'est pas utile.


  • V

    @Noemi

    Mais de quelle relation vous parlez alors ??


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    Pour toutes les relations donnant Un+1U_{n+1}Un+1 en fonction de nnn ou de UnU_nUn, on peut écrire UnU_nUn.


  • V

    @Noemi

    D'accord mais pourquoi dans ce cas là on a écrit Un en fonction de un−1u_{n-1}un1 et pas en fonction de un+1u_{n+1}un+1 ??


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    Quand tu as une relation du type : Un=4Un−1+3nU_n= 4U_{n-1}+3nUn=4Un1+3n,
    Pour écrire Un−1U_{n-1}Un1, tu remplaces nnn par n−1n-1n1
    Un−1=4Un−2+3(n−1)U_{n-1}=4U_{n-2}+3(n-1)Un1=4Un2+3(n1)

    Si tu veux écrire Un+1U_{n+1}Un+1, tu remplace nnn par n+1n+1n+1.


  • V

    @Noemi

    D'accord merci.


  • V

    Bonjour,

    J'ai de nouveau un problème concernant mon dm, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
    Pour mieux comprendre je vous mets l'énoncé en entier:

    On considère la suite (un)(u_n)(un) définie par u0=1u_0=1u0=1 et un+1=12(un+2un)u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)un+1=21(un+un2) pour tout entier naturel n.

    1.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, unu_nun >0.

    2.Démontrer que pour tout n appartenant à N\mathbb NN, un+12−2=(un2−22un)2u_{n+1}^2 -2 =\left(\frac{u_n^2- 2}{2u_n}\right)^2un+122=(2unun22)2

    3.En déduire que ∀n≥1\forall n \geq 1n1, un≥2u_n \geq \sqrt 2un2

    1. Démontrer que, ∀n∈N,;un+1−un=2−un22un\forall n \in \mathbb N,; u_{n+1}-u_n = \frac{2-u_n^2}{2u_n}nN,;un+1un=2un2un2

    2. En déduire que la suite (un)(u_n)(un) est décroissante à partir de n=1

    3. En déduire que la suite (un)(u_n)(un) converge puis déterminer sa limite

    4. Écrire un algorithme en langage Python permettant, à partir d'un entier p entré par un utilisateur, de donner une valeur approchée de 2\sqrt 22 à 10−p10^{-p}10p près. Le tester pour une valeur approchée de 2\sqrt 22 à 10−510^{-5}105 près puis à 10−710^{-7}107 près.

    J'ai réussi à faire jusqu'à la question 6 mais je bloque pour la 7.


  • N
    Modérateurs

    @Vani94

    Fais un programme à partir de l'expression de la suite.


Se connecter pour répondre