Dm de maths sur les suites

Bonjour,
Je bloque sur mon devoir maison de maths, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par u0= 1 et $\frac{1}{2} (Un+\frac{2}{Un})$ pour tout entier naturel n.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0.
Démontrer que pour tout n appartenant à N, $Un+12−2=(Un2−22Un)2Un+1^2 -2 = (\frac{Un^2- 2}{2Un})^2$
En déduire que pour tout n >= 1 , Un >= racine carrée de 2

Pour la 1ère question, j'ai pu faire ceci :

Soit la suite (Un) définie par u0 = 1 et $\frac{1}{2} (Un+ \frac{2}{Un})$

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0.

Initialisation : Pour n= 0

1>0 donc U0>0.

La propriété est donc vraie pour n=0

Hérédité : Supposons que pour un certain entier n, Un >0. Démontrons que : Un+1 >0

On a :
Un>0

Un+ $2Un\frac{2}{Un}$ > $2Un\frac{2}{Un}$

$12(Un+2Un)\frac{1}{2} (Un+\frac{2}{Un})$ > $22Un\frac{2}{2Un}$

Un+1 > $22Un\frac{2}{2Un}$

Et pour après je ne sais pas trop comment continuer.

Pour la deuxième question, j'ai essayé de passer par le membre de gauche mais je ne retombe pas sur le résultat attendu :

$Un+1)^2 - 2$
= $(12(Un+2Un))2−2(\frac{1}{2} (Un+\frac{2}{Un}))^2 -2$

= $14(Un+2Un)2−2\frac{1}{4}(Un+\frac{2}{Un})^2 - 2$

= $14(Un2+2×Un×2Un+(2Un)2)\frac{1}{4} ( Un^2 + 2×Un× \frac{2}{Un} +(\frac{2}{Un})^2 )$ -2

= $14(Un2+4UnUn\frac{1}{4} (Un^2 + \frac{4Un}{Un}$ + $4Un2)\frac{4}{Un^2})$ -2

= $Un24\frac{Un ^2 }{4 }$ + $4Un4Un\frac{4Un}{4Un}$ + $44Un2\frac{4}{4Un^2}$ - 2
= $(Un3+4Un)4Un\frac{(Un ^ 3 + 4 Un)} { 4 Un}$ + $44Un2\frac{4} {4 Un ^2}$ - 2
= $Un6+8Un2+4−8Un24Un2\frac{Un^6 + 8Un^2 +4 - 8Un ^2} {4Un ^2}$

= $Un6+44Un2\frac{Un^6 +4}{ 4Un ^2}$

= $(Un3+22Un)2(\frac{Un^3+2}{2Un})^2$

@Vani94 Bonjour,

Si $Un>0U_n\gt0$ , $1Un>0\dfrac{1}{U_n}\gt0$ donc .....

$Un24+1+1Un2−2=Un24−1+1Un2\dfrac {U_n^2}{4}+1+\dfrac{1}{U_n^2}-2=\dfrac {U_n^2}{4}-1+\dfrac{1}{U_n^2}$
$Un4−4Un2+44Un2=...\dfrac{U_n^4-4U_n^2+4}{4U_n^2}= ...$

@Noemi

Bonjour,

Merci beaucoup pour l'aide, mais j'ai un peu de mal à calculer $Un^4- 4Un^2$ , pouvez-vous me guider un peu s'il vous plaît ?

@Vani94

$Un24+1+1Un2−2=Un24−1+1Un2\dfrac {U_n^2}{4}+1+\dfrac{1}{U_n^2}-2=\dfrac {U_n^2}{4}-1+\dfrac{1}{U_n^2}$
Tu réduis au même dénominateur, soit $4U_n^2$
$Un2×Un2−1×4Un2+1×44Un2\dfrac{U_n^2\times U_n^2-1\times 4U_n^2+1\times4}{4U_n^2}$

$Un4−4Un2+44Un2=...\dfrac{U_n^4-4U_n^2+4}{4U_n^2}= ...$

Ensuite au numérateur c'est une identité remarquable $U_n^2-2)^2$

@Noemi

D'accord, merci beaucoup pour votre aide

@Vani94

C'est parfait si tu as tout compris.

@Noemi

Néanmoins, je ne comprends pas en quoi la réponse à la 2ème question est utile à la 3ème.

@Vani94

Tu as : $Un+12=2+(Un2−22Un)2U_{n+1}^2= 2+ (\dfrac{U_n^2-2}{2U_n})^2$

2 + un carré donc supérieur ou égal à 2.
Et si tu prends la racine carré.
....

@Noemi

Oui mais je prouve juste que Un+1 est supérieur ou égal à racine de 2 or pour Un je sais juste que c'est supérieur à 0.

@Vani94

A partir de la relation, tu peux écrire $U_n^2$ en fonction de $U_{n-1}$

@Noemi

$Un^2$ = racine de 2 - $U02+22Un\frac{U0^2+2}{2Un}$ ?

@Vani94

Non,

$Un2=2+(Un−12−22Un−1)2U_n^2= 2+(\dfrac{U_{n-1}^2-2}{2U_{n-1}})^2$

@Noemi

Mais pourquoi une écriture de $Un^2$ en fonction de $U_{n-1}$ est possible ??

@Vani94

La relation est vraie pour tout $n$ positif ou nul.

@Noemi

Donc vous dites que si Un > 0 est vrai pour tout n positif ou négatif sachant que je peux écrire $u_{n+1}$ en fonction de Un, je peux écrire $Un^2$ en fonction de $u_{n-1}$ ??

@Vani94

La condition $Un>0U_n\gt0$ n'est pas utile.

@Noemi

Mais de quelle relation vous parlez alors ??

@Vani94

Pour toutes les relations donnant $U_{n+1}$ en fonction de $n$ ou de $U_n$ , on peut écrire $U_n$ .

@Noemi

D'accord mais pourquoi dans ce cas là on a écrit Un en fonction de $u_{n-1}$ et pas en fonction de $u_{n+1}$ ??

@Vani94

Quand tu as une relation du type : $U_n= 4U_{n-1}+3n$ ,
Pour écrire $U_{n-1}$ , tu remplaces $n$ par $n - 1$
$U_{n-1}=4U_{n-2}+3(n-1)$

Si tu veux écrire $U_{n+1}$ , tu remplace $n$ par $n + 1$ .

@Noemi

D'accord merci.

Bonjour,

J'ai de nouveau un problème concernant mon dm, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Pour mieux comprendre je vous mets l'énoncé en entier:

On considère la suite $u_n)$ définie par $u_0=1$ et $un+1=12(un+2un)u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$ pour tout entier naturel n.

1.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $u_n$ >0.

2.Démontrer que pour tout n appartenant à $N\mathbb N$ , $un+12−2=(un2−22un)2u_{n+1}^2 -2 =\left(\frac{u_n^2- 2}{2u_n}\right)^2$

3.En déduire que $∀n≥1\forall n \geq 1$ , $un≥2u_n \geq \sqrt 2$

Démontrer que, $∀n∈N,;un+1−un=2−un22un\forall n \in \mathbb N,; u_{n+1}-u_n = \frac{2-u_n^2}{2u_n}$
En déduire que la suite $u_n)$ est décroissante à partir de n=1
En déduire que la suite $u_n)$ converge puis déterminer sa limite
Écrire un algorithme en langage Python permettant, à partir d'un entier p entré par un utilisateur, de donner une valeur approchée de $2\sqrt 2$ à $10^{-p}$ près. Le tester pour une valeur approchée de $2\sqrt 2$ à $10^{-5}$ près puis à $10^{-7}$ près.

J'ai réussi à faire jusqu'à la question 6 mais je bloque pour la 7.

@Vani94

Fais un programme à partir de l'expression de la suite.