3. Devoir analyse combinatoire

Devoir analyse combinatoire

  • *__mnl__elm__*

    Bonsoir j'ai besoin d'aide sur un devoir :

    Voici la consigne:

    1. Démontrer la relation : K.C(k,n)= n.C(k-1, n-1)

    Si n ⩾ k ⩾ 1

    1. En déduire la valeur de la somme :

    C¹n + 2 C²n + 3 C³n + .......+ n C(n,n)

    Merci à ceux qui prendront le temps de me répondre. ( je m'excuse déjà de la façon dont tout cela est noté je ne voyais pas comment l'écrire autrement. Les (k,n) signifient juste que le k est au dessus comme un exposant et le n en indice en dessous)

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @__mnl__elm__ Bonjour,

    k(nk)=k×n!k!(n−k)!=n!(k−1)!(n−k)!k\dbinom{n}{k}=k\times\dfrac{n!}{k!(n-k)!}= \dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}k(kn​)=k×k!(n−k)!n!​=(k−1)!(n−k)!n!​

    Applique le même raisonnement pour l'autre terme et compare les.

  • mtschoon

    Bonjour,

    @__mnl__elm__ , j'espère qu'avec l'aide de @Noemi , tu as traité la première question.

    Quelques indications pour la seconde question.

    Soit SSS la somme à calculer.
    En appliquant la propriété trouvée à la 1) a chaque terme, tu peux écrire (avec la notation dont tu as l'habitude)

    S=nCn−10+nCn−11+nCn−12+....+nCn−1n−1S=nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+nC_{n-1}^2+....+nC_{n-1}^{n-1}S=nCn−10​+nCn−11​+nCn−12​+....+nCn−1n−1​

    S=n(Cn−10+Cn−11+Cn−12+....+Cn−1n−1)S=n\biggr(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+....+C_{n-1}^{n-1}\biggr)S=n(Cn−10​+Cn−11​+Cn−12​+....+Cn−1n−1​)

    La quantité entre parenthèses peut se calculer de plusieurs façons en fonction de ton cours.
    Peut-être que la formule fait partie des formules usuelles connues
    ou bien
    tu peux la calculer avec la formule du binôme (a+b)n−1(a+b)^{n-1}(a+b)n−1 en prenant a=b=1a=b=1a=b=1
    ou bien
    tu peux considérer que c'est le nombre de parties d'un ensemble à (n−1)(n-1)(n−1) éléments.

    Quelle que soit la méthode, tu trouveras que cette quantité vaut 2n−12^{n-1}2n−1 d'où S=n2n−1S=n2^{n-1}S=n2n−1

    Bon travail.

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