exprimer une suite comme la somme de n termes
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Lleol dernière édition par leol
Bonjour,
Je sollicite votre aide à nouveau sur les suites car je n’arrive pas à exprimer la suite (un) comme la somme de n termes avec l’aide de (vn)
Enoncé:
Une sportive parcours 100m en 20s à sa première course. Pour sa deuxième, 150m. Sa troisième, 175m. A chaque nouvelle course elle parcourt la distance de sa précédente tentative plus la moitié de la distance gagnée par rapport à la tentative précédente.
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Je dois exprimer vn, la distance gagnée entre la (n-1)ième et la n ième tentative.
J'ai : Vn= 100/2^n -
Puis je dois exprimer (un) comme une somme de n termes, à l'aide de (vn). Un étant la distance parcourue à la n ième tentative.
Je trouve: u(n+1) = un + 100/2^n ou u(n+1) = un + vn
Mais à partir de là je sais pas comment aller plus loin et exprimer cette somme.
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@leol Bonjour,
un=100+1002+1004+.....1002n−1u_n= 100+ \dfrac{100}{2}+\dfrac{100}{4}+ .....\dfrac{100}{2^{n-1}}un=100+2100+4100+.....2n−1100
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@leol , bonjour,
Je regarde les réponses aux deux premières questions et je crois voir quelques anomalies .
Vérifie.
Tu peux vérifier en utilisant les données de l'énoncé avec les premiers termes.Si j'ai bien compris l'énoncé (?),
U1=100U_1=100U1=100
U2=150U_2=150U2=150
U3=175U_3=175U3=175
V2=U2−U1=50V_2=U_2-U_1=50V2=U2−U1=50
V3=U3−U2=25V_3=U_3-U_2=25V3=U3−U2=25Pour VnV_nVn , c'est plutôt : Vn=1002n−1V_n=\dfrac{100}{2^{n-1}}Vn=2n−1100
Pour Un+1U_{n+1}Un+1, c'est plutôt : Un+1=Un+12VnU_{n+1}=U_n+\dfrac{1}{2}V_nUn+1=Un+21Vn
Un+1=Un+12(1002n−1)U_{n+1}=U_n+\dfrac{1}{2}\biggr(\dfrac{100}{2^{n-1}}\biggr)Un+1=Un+21(2n−1100)
Un+1=Un+1002nU_{n+1}=U_n+\dfrac{100}{2^{n}}Un+1=Un+2n100
Pour la transformation de UnU_nUn ( à l'aide des VnV_nVn ) :
Tu peux partir de U2U_2U2 et appliquer la formule qui vient d'être écrite, à chaque étape :
U2=150U_2=150U2=150
U3=U2+12V2U_3=U_2+\dfrac{1}{2}V_2U3=U2+21V2
U4=U3+12V3=U2+12V2+12V3U_4=U_3+\dfrac{1}{2}V_3=U_2+\dfrac{1}{2}V_2+\dfrac{1}{2}V_3U4=U3+21V3=U2+21V2+21V3
U5=U4+12V4=U2+12V2+12V3+12V4U_5=U_4+\dfrac{1}{2}V_4=U_2+\dfrac{1}{2}V_2+\dfrac{1}{2}V_3+\dfrac{1}{2}V4U5=U4+21V4=U2+21V2+21V3+21V4En généralisant :
Un=U2+12V2+12V3+...12Vn−1U_n=U_2+\dfrac{1}{2}V_2+\dfrac{1}{2}V_3+...\dfrac{1}{2}V_{n-1}Un=U2+21V2+21V3+...21Vn−1
Un=150+12(V2+V3+...Vn−1)U_n=150+\dfrac{1}{2}(V_2+V_3+...V_{n-1})Un=150+21(V2+V3+...Vn−1)Vérifie tout ça.
Bien sûr, ces généralisations doivent être prouvées par récurrence.
Je ne sais pas quel est le but de cette question, mais j'imagine que, (Vn)(V_n)(Vn) étant une suite géométrique, tu peux calculer, en fonction de nnn, la somme des termes entre parenthèses et en déduire l'expression générale de UnU_nUn en fonction de nnn.
C'est le but que je verrais pour cet exercice.Bons calculs.
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Bonjour @Noemi
Je n'avais pas vu ta réponse quand j'ai commencé à taper la mienne...
J'ai commencé à U2U_2U2 car @leol voulait des VnV_nVn
j'espère que ça correspond , mais c'est à vérifier.
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Re-bonjour,
Je viens de vérifier.
Les deux réponses que tu as obtenues @leol , sont explicitées différemment, mais ce sont les mêmes.
Tout dépend de l'expression que tu recherches mais les deux sont identiques.
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Lleol dernière édition par
@mtschoon c'est vrai que mes réponses semblaient logiques et je voyais pas ou je m'étais trompé.
par contre je ne comprends pas quand vous écrivez Vn = 100/2^n-1
pour moi V1 = 50 , V2 = 25 , V3 = 12,5 etc...
et je n'arrive pas à retrouver cela avec Vn = 100/2^n-1
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Lleol dernière édition par leol
En fait vous considérez que V2 = 50 , là où moi je considère que c'est V1 c'est là que ça diffère, puisque ça "décale" toutes les valeurs.
Mais pourquoi V1 ne serait pas 50 par exemple ?
Ok ça je viens de comprendre c'est tout simple et en plus c'est demandé dans mon énoncé je suis étourdi.
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@leol ,
D'après ton énoncé, si je l'ai compris (?) , V1V_1V1 serait la différence U1−U0U_1-U_0U1−U0
Or UnU_nUn étant la distance parcourue à la neˋmen ^{ème}neˋmetentative.
Donc U0U_0U0 n'existe pas (0eˋme0 ^{ème}0eˋmetentative ne veut rien dire). , donc V1V_1V1 n'est pas défini.
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Lleol dernière édition par
@mtschoon oui c'est cela je l'ai compris après avoir posé la question
En ce qui est de la somme des Vn, je ne peux qu'avoir une expression et pas de valeur précise, or on me demande bien de calculer cette somme. Je trouve ça bizarre
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@leol , une remarque pour l'avenir :
Ecris, dès le début, l'énoncé entier exactement comme il t'a été donné, pour éviter toute confusion et clarifier les questions.Pour revenir à la somme, bien sûr, tu trouveras l'expression de UnU_nUn en fonction de nnn.
En partant de l'écriture que je t'ai indiquée en fonction des VnV_nVn (car cela semblait être ce que tu demandais), tu peux expliciter (et tu trouveras l'expression indiquée par Noemi)
Vn=1002n−1V_n=\dfrac{100}{2^{n-1}}Vn=2n−1100
Un=100+1002+12(1002+...+1002n−2)U_n=100+\dfrac{100}{2}+\dfrac{1}{2}\biggr(\dfrac{100}{2}+...+\dfrac{100}{2^{n-2}}\biggr)Un=100+2100+21(2100+...+2n−2100)
Après simplification :
Un=100(1+12+(12)2+...+(12)n−1)U_n=100\biggr(1+\dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})^2+...+(\dfrac{1}{2})^{n-1}\biggr)Un=100(1+21+(21)2+...+(21)n−1)Tu reconnais entre parenthèses la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 12\dfrac{1}{2}21
Donne ta réponse si tu souhaites une vérification.
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Lleol dernière édition par leol
ducoup, ça donnerait Un = 100 . [1-(1/2)^n+1]/1-1/2 ?
j'ai considéré la somme de n termes de la suite géométrique de premier terme 1 dans ce cas
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@leol , presque mais pas tout à fait à cause du nombre de termes.
Dans la somme entre parenthèses , il y a nnn termes pas n+1n+1n+1La formule est :
premier terme×1−qnombre de termes1−qpremier\ terme \times \dfrac{1-q^{nombre\ de \ termes}}{1-q}premier terme×1−q1−qnombre de termes
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Lleol dernière édition par
@mtschoon d'accord, j'avais cru voir une fois avec le n+1, mais c'est surement une erreur ou moi qui me souvenais mal de la formule.
et ducoup ça fonctionne quand on met les bonnes valeurs c'est super.
J'aurais une question à propos de la simplification que vous avez faite sur Un, je suis pas sur de la comprendre et de pouvoir la refaire.
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@leol ,
Tu as dû voir une formule avec qn+1q^{n+1}qn+1, lorsqu'il y a (n+1)(n+1)(n+1) termes, par exemple ici , paragraphe IV. 3)
https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/Tu dois donc avoir trouvé pour réponse finale
Un=100×1−(12)n12U_n=100\times \dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^n}{\dfrac{1}{2}}Un=100×211−(21)nTu peux l'écrire plus simplement
Un=200(1−(12)n)U_n=200\biggr(1-(\dfrac{1}{2})^n\biggr)Un=200(1−(21)n)
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@leol, pour la transformation de UnU_nUn
Tu décomposes 150150150 en 100+1002100+\dfrac{100}{2}100+2100 et tu appliques la formule trouvée pour VnV_nVn pour nnn variant de nnn à n−1n-1n−1
ça donne :
Un=100+1002+12(1002+10022+...+1002n−2)U_n=100+\dfrac{100}{2}+\dfrac{1}{2}\biggr(\dfrac{100}{2}+\dfrac{100}{2^2}+...+\dfrac{100}{2^{n-2}}\biggr)Un=100+2100+21(2100+22100+...+2n−2100)Un=100+1002+10022+10023+...+1002n−1U_n=100+\dfrac{100}{2}+\dfrac{100}{2^2}+\dfrac{100}{2^3}+...+\dfrac{100}{2^{n-1}}Un=100+2100+22100+23100+...+2n−1100
Tu mets ensuite 100100100 en facteur.
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Lleol dernière édition par
@mtschoon Ok je vois c'est tout simple
Merci beaucoup pour votre aide vous m'avez vraiment très bien expliqué et débloqué sur ce qui coinçait, et avec beaucoup de patience.
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C'est parfait @leol si maintenant tout est clair pour toi.
Bon travail !