exprimer une suite comme la somme de n termes

Bonjour,

Je sollicite votre aide à nouveau sur les suites car je n’arrive pas à exprimer la suite (un) comme la somme de n termes avec l’aide de (vn)

Enoncé:

Une sportive parcours 100m en 20s à sa première course. Pour sa deuxième, 150m. Sa troisième, 175m. A chaque nouvelle course elle parcourt la distance de sa précédente tentative plus la moitié de la distance gagnée par rapport à la tentative précédente.

Je dois exprimer vn, la distance gagnée entre la (n-1)ième et la n ième tentative.
J'ai : Vn= 100/2^n
Puis je dois exprimer (un) comme une somme de n termes, à l'aide de (vn). Un étant la distance parcourue à la n ième tentative.

Je trouve: u(n+1) = un + 100/2^n ou u(n+1) = un + vn

Mais à partir de là je sais pas comment aller plus loin et exprimer cette somme.

@leol Bonjour,

$un=100+1002+1004+.....1002n−1u_n= 100+ \dfrac{100}{2}+\dfrac{100}{4}+ .....\dfrac{100}{2^{n-1}}$

@leol , bonjour,

Je regarde les réponses aux deux premières questions et je crois voir quelques anomalies .
Vérifie.
Tu peux vérifier en utilisant les données de l'énoncé avec les premiers termes.

Si j'ai bien compris l'énoncé (?),

$U_1=100$
$U_2=150$
$U_3=175$
$V_2=U_2-U_1=50$
$V_3=U_3-U_2=25$

Pour $V_n$ , c'est plutôt : $Vn=1002n−1V_n=\dfrac{100}{2^{n-1}}$

Pour $U_{n+1}$ , c'est plutôt : $Un+1=Un+12VnU_{n+1}=U_n+\dfrac{1}{2}V_n$

$Un+1=Un+12(1002n−1)U_{n+1}=U_n+\dfrac{1}{2}\biggr(\dfrac{100}{2^{n-1}}\biggr)$

$Un+1=Un+1002nU_{n+1}=U_n+\dfrac{100}{2^{n}}$

Pour la transformation de $U_n$ ( à l'aide des $V_n$ ) :

Tu peux partir de $U_2$ et appliquer la formule qui vient d'être écrite, à chaque étape :
$U_2=150$
$U3=U2+12V2U_3=U_2+\dfrac{1}{2}V_2$
$U4=U3+12V3=U2+12V2+12V3U_4=U_3+\dfrac{1}{2}V_3=U_2+\dfrac{1}{2}V_2+\dfrac{1}{2}V_3$
$U5=U4+12V4=U2+12V2+12V3+12V4U_5=U_4+\dfrac{1}{2}V_4=U_2+\dfrac{1}{2}V_2+\dfrac{1}{2}V_3+\dfrac{1}{2}V4$

En généralisant :
$Un=U2+12V2+12V3+...12Vn−1U_n=U_2+\dfrac{1}{2}V_2+\dfrac{1}{2}V_3+...\dfrac{1}{2}V_{n-1}$
$Un=150+12(V2+V3+...Vn−1)U_n=150+\dfrac{1}{2}(V_2+V_3+...V_{n-1})$

Vérifie tout ça.

Bien sûr, ces généralisations doivent être prouvées par récurrence.

Je ne sais pas quel est le but de cette question, mais j'imagine que, $V_n)$ étant une suite géométrique, tu peux calculer, en fonction de $n$ , la somme des termes entre parenthèses et en déduire l'expression générale de $U_n$ en fonction de $n$ .
C'est le but que je verrais pour cet exercice.

Bons calculs.

Bonjour @Noemi
Je n'avais pas vu ta réponse quand j'ai commencé à taper la mienne...
J'ai commencé à $U_2$ car @leol voulait des $V_n$
j'espère que ça correspond , mais c'est à vérifier.

Re-bonjour,

Je viens de vérifier.

Les deux réponses que tu as obtenues @leol , sont explicitées différemment, mais ce sont les mêmes.

Tout dépend de l'expression que tu recherches mais les deux sont identiques.

@mtschoon c'est vrai que mes réponses semblaient logiques et je voyais pas ou je m'étais trompé.

par contre je ne comprends pas quand vous écrivez Vn = 100/2^n-1

pour moi V1 = 50 , V2 = 25 , V3 = 12,5 etc...
et je n'arrive pas à retrouver cela avec Vn = 100/2^n-1

En fait vous considérez que V2 = 50 , là où moi je considère que c'est V1 c'est là que ça diffère, puisque ça "décale" toutes les valeurs.

Mais pourquoi V1 ne serait pas 50 par exemple ?

Ok ça je viens de comprendre c'est tout simple et en plus c'est demandé dans mon énoncé je suis étourdi.

@leol ,
D'après ton énoncé, si je l'ai compris (?) , $V_1$ serait la différence $U_1-U_0$
Or $U_n$ étant la distance parcourue à la $^{ème}$ tentative.
Donc $U_0$ n'existe pas ( $^{ème}$ tentative ne veut rien dire). , donc $V_1$ n'est pas défini.

@mtschoon oui c'est cela je l'ai compris après avoir posé la question

En ce qui est de la somme des Vn, je ne peux qu'avoir une expression et pas de valeur précise, or on me demande bien de calculer cette somme. Je trouve ça bizarre

@leol , une remarque pour l'avenir :
Ecris, dès le début, l'énoncé entier exactement comme il t'a été donné, pour éviter toute confusion et clarifier les questions.

Pour revenir à la somme, bien sûr, tu trouveras l'expression de $U_n$ en fonction de $n$ .

En partant de l'écriture que je t'ai indiquée en fonction des $V_n$ (car cela semblait être ce que tu demandais), tu peux expliciter (et tu trouveras l'expression indiquée par Noemi)

$Vn=1002n−1V_n=\dfrac{100}{2^{n-1}}$

$Un=100+1002+12(1002+...+1002n−2)U_n=100+\dfrac{100}{2}+\dfrac{1}{2}\biggr(\dfrac{100}{2}+...+\dfrac{100}{2^{n-2}}\biggr)$

Après simplification :
$Un=100(1+12+(12)2+...+(12)n−1)U_n=100\biggr(1+\dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})^2+...+(\dfrac{1}{2})^{n-1}\biggr)$

Tu reconnais entre parenthèses la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $12\dfrac{1}{2}$

Donne ta réponse si tu souhaites une vérification.

ducoup, ça donnerait Un = 100 . [1-(1/2)^n+1]/1-1/2 ?
j'ai considéré la somme de n termes de la suite géométrique de premier terme 1 dans ce cas

@leol , presque mais pas tout à fait à cause du nombre de termes.
Dans la somme entre parenthèses , il y a $n$ termes pas $n + 1$

La formule est :
$termes1−qpremier\ terme \times \dfrac{1-q^{nombre\ de \ termes}}{1-q}$

@mtschoon d'accord, j'avais cru voir une fois avec le n+1, mais c'est surement une erreur ou moi qui me souvenais mal de la formule.

et ducoup ça fonctionne quand on met les bonnes valeurs c'est super.

J'aurais une question à propos de la simplification que vous avez faite sur Un, je suis pas sur de la comprendre et de pouvoir la refaire.

@leol ,
Tu as dû voir une formule avec $q^{n+1}$ , lorsqu'il y a $(n + 1)$ termes, par exemple ici , paragraphe IV. 3)
https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/

Tu dois donc avoir trouvé pour réponse finale
$Un=100×1−(12)n12U_n=100\times \dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^n}{\dfrac{1}{2}}$

Tu peux l'écrire plus simplement
$Un=200(1−(12)n)U_n=200\biggr(1-(\dfrac{1}{2})^n\biggr)$

@leol, pour la transformation de $U_n$

Tu décomposes $150$ en $100+1002100+\dfrac{100}{2}$ et tu appliques la formule trouvée pour $V_n$ pour $n$ variant de $n$ à $n - 1$

ça donne :
$Un=100+1002+12(1002+10022+...+1002n−2)U_n=100+\dfrac{100}{2}+\dfrac{1}{2}\biggr(\dfrac{100}{2}+\dfrac{100}{2^2}+...+\dfrac{100}{2^{n-2}}\biggr)$

$Un=100+1002+10022+10023+...+1002n−1U_n=100+\dfrac{100}{2}+\dfrac{100}{2^2}+\dfrac{100}{2^3}+...+\dfrac{100}{2^{n-1}}$

Tu mets ensuite $100$ en facteur.

@mtschoon Ok je vois c'est tout simple

Merci beaucoup pour votre aide vous m'avez vraiment très bien expliqué et débloqué sur ce qui coinçait, et avec beaucoup de patience.

C'est parfait @leol si maintenant tout est clair pour toi.
Bon travail !