Exercice dérivation incomplet

Bonsoir,
J'ai cet exercice à faire mais ne n'y arrive pas:

Soit 𝑓^(0) ∶ 𝑥 ⟼ 1/𝑥−1.
Notons 𝑓^(1) la dérivée de 𝑓^(0) et, pour tout entier 𝑛 ≥ 1, 𝑓^(𝑛+1) la dérivée de 𝑓^(𝑛).

Déterminer l’expression de 𝑓^(𝑛), la 𝑛-ième dérivée de la fonction 𝑓.
Soit 𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ 2+𝑥/𝑥−1.
a) Déterminer deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que pour tout réel 𝑥 ≠ 1, 𝑔(𝑥) = 𝑎 + 𝑏/𝑥−1.
b) Déterminer l’expression de 𝑔(𝑛), la 𝑛-ième dérivée de la fonction 𝑔

Le début de ma réponse:

On a a f^(0)=1/𝑥−1 et f^(1)=-1/(𝑥−1)²
Pour f^(𝑛) et f^(𝑛+1) je ne comprends pas bien. Faut-il juste remplacer 𝑥 par 𝑛 ?
a) Pour trouver 𝑎 et 𝑏 je suis parvenu à 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥-𝑎+𝑏/𝑥−1 ce qui revient à résoudre l'équation 2+𝑥=𝑎𝑥-𝑎+𝑏. C'est ça ?
b) je n'ai pas trouvé

Pour la question 1. calcule $f^{(2)}$ puis $f^{(3)}$ puis tu en déduis $f^{(n)}$
Pour la question 2 . a) une méthode faire apparaitre $x - 1$ au numérateur,
soit $2+xx−1=2+1−1+xx−1=x−1x−1+3x−1=....\dfrac{2+x}{x-1}= \dfrac{2+1-1+x}{x-1}= \dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{3}{x-1}= ....$
b) Il faut utiliser le résultat de la question 1.

D'accord merci.
Donc si j'ai tout compris:

f^(2)=-1/2 ; f^(3)=-1/4 donc f^(n)=-1/n
donc f^(n+1)=f^(n)'=-(-1)/n²=1/n²
a) 2+x/x-1 = 3/x-1 donc ici b=3 et a=0
b) g(x)=3/(x-1)
donc g^(n)=g'(x)=-3/(x-1)²

@nathan_n

Non,

$\dfrac {-1}{(x-1)^2}$
$\dfrac{2}{(x-1)^3}$
$f3(x)=−6(x−1)4f^{3}(x)= \dfrac{-6}{(x-1)^4}$
Tu dois en déduire
$f^{n}(x)= .....$
....
$2+xx−1=2+1−1+xx−1=x−1x−1+3x−1=1+3x−1\dfrac{2+x}{x-1}= \dfrac{2+1-1+x}{x-1}= \dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{3}{x-1}= 1+\dfrac{3}{x-1}$

Ce que j'ai compris c'est que f^(n+1)=f'^(n) mais je ne comprends pourquoi le dénominateur augmente que d'un exposant. Pour dériver je fais la formule u'v-uv'/v² donc quand je passe de f'' à f^(3) je ne trouve pas (x-1)^3

Pour la question 2) g'(x)= -3/(x-1)² et ensuite c'est le même raisonnement que la question 1. non ?

@nathan_n

Non $f^{n+1}$ n'est pas égal à $f^{n}$
Indique tes calculs, l'expression se simplifie.
J'ai utilisé la dérivée de $1u\dfrac{1}{u}$ , soit $−u′u2\dfrac{-u'}{u^2}$

Oui comme indiqué pour la question 2, il faut utiliser le principe du résultat obtenu à la question 1.

D'accord ça y est j'ai compris mon erreur (elle était dans mes calculs et dans la simplification !). Donc au dénominateur f^(n)=(1-x)^n+1 et je cherche pour le numérateur.

@nathan_n

Le numérateur est $(−1)n×n!(-1)^n\times n!$ vérifie.

Oui c'est bien ça. Je n'ai pas du tout pensé à la factorielle. J'étais parti sur -n*(n-1) mais du coup c'est exprimé par récurrence.

@nathan_n

Tu peux résoudre la question 2. b).

Oui je suis en train de la chercher:
J'ai trouvé qu'au dénominateur g^(n)=(x-1)^n-1
et pour le numérateur j'ai vu qu'ils étaient tous des multiples de 3 : -3 ; 6 ; -18 mais je n'ai pas encore trouvé le lien.

@nathan_n

Si tu isoles le 3, tu retrouves $n!$

Oui donc on a au numérateur (-1)^n-1*-3n!

@nathan_n

$(−1)n×3×n!(-1)^n\times3\times n!$

Ah oui c'est écrit plus simplement.
Merci beaucoup pour toutes ces réponses et le temps passé pour me répondre. Bonne soirée.

@nathan_n

C'est parfait si tu as tout compris.