Calcul sur les radicaux

Salut
Je n'arrive pas à prouver que : racinecarré(2+racine 3) + racine(4-racine7) = racine (5+racine 21)
J'ai élevé au carré mais trop de calcul pour rien
Donnez moi une idée svp

@galois Bonsoir,

C'est la seule question de l'exercice ?

Bonsoir,

@galois , une piste possible avec des identités remarquables.

$2+3=8+434=6+2+2124=(6+22)22+\sqrt3=\dfrac{8+4\sqrt 3}{4}=\dfrac{6+2+2\sqrt{12}}{4}=\biggr(\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{2}\biggr)^2$

Donc :
$2+3=6+22\sqrt{2+\sqrt3}=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{2}$

De même :
$4−7=16−2284=14+2−27×44=(14−22)24-\sqrt 7=\dfrac{16-2\sqrt{28}}{4}=\dfrac{14+2-2\sqrt{7\times 4}}{4}=\biggr(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}\biggr)^2$
Donc:
$4−7=14−22\sqrt{4-\sqrt 7}=\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$

Le membre de gauche vaut donc :
$2+3+4−7\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{4-\sqrt 7}$ = $6+142\dfrac{\sqrt 6+\sqrt{14}}{2}$

En transformant de la même façon le membre de droite $5+215+\sqrt{21}$ , tu dois arriver aussi à :
$5+21=6+142\sqrt{5+\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt{14}}{2}$

d'où l'égalité demandée.

Reposte si besoin.

@Noemi oui

@mtschoon merci vivement
Vraiment c'est une question délicate

De rien @galois
Effectivement, c'est une question délicate...
J'espère que maintenant tu la maîtrises.