Opération sur les fonctions

Bonsoir j'ai un exercice et j'aimerais avoir des vérifications.
On considère les fonctions f et g tel que f(x)=1/(x²-1) et g(x)=(x+1)(x+2)/x.
1)Déterminer les ensembles de définition de f+g, fg et f/g.
2) détermine les expressions de f+g,fg et f/g
Réponse

Df+g=R privé de {0;-1;1}, Df×g=R privé de {0;-1;1} Df/g=R privés de {-1;1;0}
f(x)+g(x)=x+(x²-1)(x+1)(x+2)/x(x²-1).
f(x)×g(x)=x+2/x(x-1)
f(x)/g(x)=x/(x²-1)(x+1)(x+2)

@Jean-174 Bonsoir,

Vérifie le domaine de définition de f/g.
Les expressions sont correctes si on considère que le terme avant / est le numérateur et le terme après / le dénominateur. Il serait bien de mettre des parenthèses.

@Noemi pour le domaine de f/g ona
x appartient à f/g équivaut à x appartient à Df et x appartient à Dg et g(x) différent de 0
Donc x différents de 1;-1 et 0 et on resoud l'équation g(x)=0 comme g est fraction on aura (x+1)(x+2)=0 et x différents de 0
x=-1 ou x=-2 et x différents de 0 donc dDf/R{-1;1;0-2;}

@Jean-174

Compare le domaine de définition indiqué avec celui de l'expression f/g.

@Noemi quand je compare je trouve -1;1 et -2 donc 0 n'est pas dans le domaine

@Jean-174

Exact

@Noemi
J'aimerais savoir pourquoi le zéro n'est pas dans le domaine de définition or on sait que Df/g=Df inter Dg et g(x) différent de zéro. Et Df inter Dg={-1;1;0}

@Jean-174

Le 0 est bien dans le domaine de définition de la fonction f/g. Cela voulait dire que
$Df/g=R−{−2;−1;0;1}D_{f/g}=R-\lbrace{-2; -1; 0 ;1}\rbrace$

@Noemi bonjour
Merci beaucoup

@Noemi a dit dans Opération sur les fonctions :

@Jean-174

Le 0 est bien dans le domaine de définition de la fonction f/g.

Are you sure ????

g n'étant pas défini pour x = 0, f/g ne peut pas l'être non plus.

Ce n'est pas parce que, APRES les opérations qui permettent d'écrire f/g, le x se retrouve en numérateur que cela change quoi que ce soit.

Pour que f/g existe, pour moi, IL FAUT que f existe, que g existe et soit non nul

ON NE PEUT PAS DIVISER PAR "QUELQUE CHOSE" QUI N'EXISTE PAS ... et g n'existe pas en x = 0

Mais ce n'est que mon avis ... de non matheux.

Me trompe-je ?

Rebonjour,

Trouvé sur le net : https://www.auto-math.be/public/6/module/13/theorie/

Sans titre.png

... qui semble bien confirmer que pour que f/g existe, IL FAUT que f existe, que g existe et soit non nul

donc le domaine de f/g est R/{-2 ; -1, 0 ; 1}

@Black-Jack bonjour
J'ai bien compris ce que vous avez dit merci infiniment

Bonjour tout le monde,

Totalement d'accord avec ce que dit @Black-Jack et le site belge.

Pour faire court, $g (0)$ n'existe pas donc $f(0)g(0)\dfrac{f(0)}{g(0)}$ non plus.
Le domaine de $fg\dfrac{f}{g}$ est $R$ \ {-2 ; -1 ; 0 ;1}

Complément :
On pourrait parler de prolongement par continuité.
j'ignore si @Jean-174 connaît, mais maintenant il connaîtra...un peu...

Soir $h(x)=f(x)g(x)h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$

Pour $x = 0$ , $h (0)$ n'existe pas.
Pour $x≠0x\ne 0$ , $h(x)=1(x2−1)×x(x+1)(x+2)h(x)=\dfrac{1}{(x^2-1)}\times \dfrac{x}{(x+1)(x+2)}$
La fonction $h$ n'est pas définie donc pas continue en $0$

Soit $h‾\overline h$ la fonction définie par :
Pour $x = 0$ , $h‾(0)=0\overline h(0)=0$
Pour $x≠0x\ne 0$ , $h‾(x)=h(x)=1(x2−1)×x(x+1)(x+2)\overline h(x)=h(x)=\dfrac{1}{(x^2-1)}\times \dfrac{x}{(x+1)(x+2)}$

Le domaine de $h‾\overline h$ est $R$ \ {-2 ; -1 ; 1}

$h‾\overline h$ est définie et continue en $0$ car :
$lim⁡x→0h(x)‾=h‾(0)=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\overline{h(x)}=\overline h(0)=0$

$h‾\overline h$ est le prolongement de $h$ , par continuité, en $0$

Re-bonjour,

Je vois que Noemi a complété sa réponse avec le bon ensemble de définition.

@Noemi a dit dans Opération sur les fonctions :

@Jean-174

Le 0 est bien dans le domaine de définition de la fonction f/g. Cela voulait dire que
$Df/g=R−{−2;−1;0;1}D_{f/g}=R-\lbrace{-2; -1; 0 ;1}\rbrace$

Elle voulait certainement dire à @Jean-174 que $0$ n'appartenait pas à l'ensemble de définition de $fg\frac{f}{g}$ , c'est-à-dire que : $Dfg=RD_{\frac{f}{g}}=R$ \ {-2 ; -1 ; 0 ; 1}

Tout est OK maintenant.

Bonne journée.