Devoir logarithmes inéquations et équations

Bonsoir, je ne vois pas comment résoudre ces 2 calculs dans R :

Log2 (x+1) + log2 (x-2) < 2 log1/4 1/18 ( 2 et 1/4 sont des bases)

3x+1 + 5 < 2/3x (x+1 et x sont en exposants)

Merci à ceux qui prendront le temps de répondre

@__mnl__elm__ Bonjour,

Commence par rechercher le domaine de validité puis utilise les relations de la fonction logarithme.

Bonjour,

@__mnl__elm__ , j'explicite un peu le début de la première inéquation.

Si j'ai bien lu, il s'agit de:
$log2(x+1)+log2(x−2)<log14(118)log_2(x+1)+log_2(x-2)\lt log_{\frac{1}{4}}(\dfrac{1}{18})$

Remarque : si l'énoncé avait mis 8 au lieu de 18 dans le membre de droite, il y aurait eu plus de simplifications..., mais c'est l'énoncé qui décide !

Vu les explications données dans ton topic précédent (va le revoir si besoin) , tu travailles sur l'intervalle $D=]2,+∞[D=]2,+\infty[$

En transformant en logarithmes népériens, l'inéquation s'écrit :
$ln(x+1)ln2+ln(x−2)ln2<ln(118)ln14\dfrac{ln(x+1)}{ln2}+\dfrac{ln(x-2)}{ln2}\lt \dfrac{ln(\dfrac{1}{18})}{ln\dfrac{1}{4}}$

Le membre de droite se simplifie un peu ( mais avec 8 au lieu de 18, se serait vraiment mieux...)

$ln(118)ln14=ln1−ln(18)ln1−ln4=ln(18)ln4\dfrac{ln(\dfrac{1}{18})}{ln\dfrac{1}{4}}=\dfrac{ln1-ln(18)}{ln 1-ln 4}=\dfrac{ln(18)}{ln4}$

Tu as donc à résoudre, sur $]2,+∞[]2,+\infty[$ , l'inéquation :

$ln(x+1)ln2+ln(x−2)ln2<ln(18)ln4\dfrac{ln(x+1)}{ln2}+\dfrac{ln(x-2)}{ln2}\lt \dfrac{ln(18)}{ln4}$

Pour réduire les deux membres au même dénominateur, pense que $ln4=ln(2^2)=2ln2$

Essaie de poursuivre et donne tes résultats pour vérification si tu les souhaites

Bonjour,

@__mnl__elm__ , je regarde la seconde inéquation et t'indique quelques pistes pour démarrer.

Si j'ai bien lu (?), tu dois résoudre :
$3x+1+5<23x3^{x+1}+5\lt \dfrac{2}{3^x}$

Pour tout x réel, $3x>03^x\gt 0$ donc $3^x$ ne s'annule pas, donc les deux membres sont définis pour tout $x$ réel.
Tu travailles donc sur $D = R$

$3.3x+5<23x3.3^x+5\lt \dfrac{2}{3^x}$
En multipliant par $3^x$ (strictement positif), l'inéquation s'écrit:
&
$3.(3x)2+5.3x<23.(3^x)^2+5.3^x\lt 2$ , c'est à dire $3.(3x)2+5.3x−2<03.(3^x)^2+5.3^x-2\lt 0$

Inconnue auxiliaire $X=3^x$
Inéquation auxiliaire $3X2+5X−2<03X^2+5X-2\lt 0$

Tu as donc une inéquation du second degré d'inconnue $X$ à résoudre, puis tu en déduis $x$ .

Donne tes résultats pour vérification si tu le souhaites.