récurrence sur des nombres pairs

Bonjour,

Je bloque sur comment débuter ma démonstration pour la partie hérédité d'une démonstration par récurrence. L'initialisation est faite.
Voici l'énoncé :
u(n+1) = 2 ^n+1 + u(n) et u(0)=2

Je dois démontrer que u(n) est pair mais je n'arrive pas à commencer.
Merci pour toutes pistes !

@Livindiam-Livin , bonjour,

Pour l'hérédité (si c'est bien ça ta question)

Tu supposes que pour $n$ de $N$ , $U_n$ est pair , c'est à dire $Un=2×pU_n=2\times p$ , $p$ étant naturel.
donc
$U_{n+1}=2^{n+1}+U_n=2^{n+1}+2p=2(2^n+p)$

$2^n+p)$ est un naturel, donc $U_{n+1}$ est le produit d'un naturel par $2$ : $U_{n+1}$ est pair.

@Livindiam-Livin

Remarque,
Tu pourrais trouver aussi l'expression générale de $U_n$

$U_0=2$
$U_1=2^1+2=2^2$
$U_2=2^2+2^2=2.2^2=2^3$
$U_3=2^3+2^3=2.2^4=2^4$
...
Tu conjectures que $U_n=2^{n+1}$

Petite récurrence :
$U_{n+1}=2^{n+1}+U_n=2^{n+1}+2^{n+1}=2.2^{n+1}=2^{n+2}$
CQFD

Donc, pour tout n de $N$ : $Un=2n+1\boxed{U_n=2^{n+1}}$

@mtschoon Merci !

De rien @Livindiam-Livin .
J'espère que l'expression de $U_n$ a pu te servir pour d'autres questions de ton exercice.