Prouver la convergence d'une suite avec Taylor/d'Alembert
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DDarenjuDev dernière édition par
Bonjour !
Pour aider ma copine qui fait des études universitaires, j'aurais besoin d'aide sur cet exercice que l'on trouve assez compliqué. Il s'agit de vérifier si une série est convergente. Pour cela, étant donné les éléments abordés dans le cours, il faudrait utiliser au choix d'Alembert, Gauchy, MacLaurin ou encore Taylor.
Voici la série :∑n=1∞x2e−nx\sum_{n=1}^{\infty}x^2e^{-nx}∑n=1∞x2e−nx avec xϵ[0;∞)x\epsilon\left[ 0 ; \infty \right)xϵ[0;∞)
Pour l'instant, nous avons tenté plein de choses, au hasard :
- Calculer les dérivées (jusqu'à la 5e !)
- Calculer la limite de an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}anan+1
- Réécrire pour avoir quelque chose qui ressemble à une Taylor : (−1)n(nn−nn−1)n!\frac{(-1)^n(n^n-n^{n-1})}{n!}n!(−1)n(nn−nn−1)
Nous sommes à cours d'idées, un peu d'aide serait la bienvenue !
Merci d'avance.
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BBlack-Jack dernière édition par
Proposition (à vérifier)
cela revient à étudier : S=x2∗Σn=1+∞(e−x)nS = x^2 * \Sigma_{n=1}^{+ \infty} (e^{-x})^n S=x2∗Σn=1+∞(e−x)n
a) Si x est dans ]0 ; +oo[ on a 0 < e^-x < 1 et donc il suffit d'étudier :
x2∗Σn=1+∞Anx^2 * \Sigma_{n=1}^{+ \infty} A^n x2∗Σn=1+∞An avec 0 < A < 1
On compare cette somme à I=x2∗∫n=1+∞An+1dnI = x^2 * \int_{n=1}^{+ \infty} A^{n+1} dnI=x2∗∫n=1+∞An+1dn avec 0 < A < 1
On montre que cette intégrale converge ... et que 0 < S < I (en comparant les aires)On conclut ...
b)
Reste le cas x = 0 ... qui est trivialA vérifier ... bien entendu.
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DDarenjuDev dernière édition par
Bonsoir et merci pour votre réponse !
Effectivement, je n'étais pas sûr que l'on pouvait simplifier en x2×∑n=1∞(e−x)nx^2\times\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-x})^nx2×∑n=1∞(e−x)n.
Lorsque vous indiquez AnA^nAn, vous supposez que An=(e−x)nA^n=(e^{-x})^nAn=(e−x)n ? AAA serait donc une suite géométrique ?
Et comparer les aires reviendrait donc à comparer les intégrales ?Désolé pour toutes ces questions, je n'ai plus le bagage nécessaire, mais nous n'avions pas encore eu cette ébauche de réponse !
Merci.
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BBlack-Jack dernière édition par
@DarenjuDev a dit dans Prouver la convergence d'une suite avec Taylor/d'Alembert :
Bonsoir et merci pour votre réponse !
Effectivement, je n'étais pas sûr que l'on pouvait simplifier en x2×∑n=1∞(e−x)nx^2\times\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-x})^nx2×∑n=1∞(e−x)n.
Lorsque vous indiquez AnA^nAn, vous supposez que An=(e−x)nA^n=(e^{-x})^nAn=(e−x)n ? AAA serait donc une suite géométrique ?
Et comparer les aires reviendrait donc à comparer les intégrales ?Désolé pour toutes ces questions, je n'ai plus le bagage nécessaire, mais nous n'avions pas encore eu cette ébauche de réponse !
Merci.
Rebonjour,
La somme est pour n qui va de 1 à l'infini ... avec x un réel positif quelconque, mais fixe.
J'ai posé e^-x = A et A et avec x dans ]0 ; +oo[, A est dans ]0 ; 1[
Attendre l'avis des matheux du site ... ce qui n'est pas mon cas.
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Si j'ai bien lu, s'il s'agit bien de ∑n=1+∞e−nx\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}n=1∑+∞e−nx, une suite géométrique convient.
(premier terme e−xe^{-x}e−x et raison e−xe^{-x}e−x)Pour x>0x\gt 0x>0
∑n=1Ne−nx=e−x×1−e−Nx1−e−x\displaystyle \sum_{n=1}^{N}e^{-nx}=e^{-x}\times \dfrac{1-e^{-Nx}}{1-e^{-x}}n=1∑Ne−nx=e−x×1−e−x1−e−NxlimN→+∞e−Nx=0\displaystyle \lim_{N\to +\infty}e^{-Nx}=0N→+∞lime−Nx=0
∑n=1+∞e−nx=e−x1−e−x\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}=\dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}n=1∑+∞e−nx=1−e−xe−x
∑n=1+∞x2e−nx=x2e−x1−e−x=x2ex−1\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}x^2e^{-nx}=\dfrac{x^2e^{-x}}{1-e^{-x}}=\dfrac{x^2}{e^x-1}n=1∑+∞x2e−nx=1−e−xx2e−x=ex−1x2