Fonctions injectives, surjective, encadrement de n!

Exercice de mathématiques première année de licence

Bonsoir
1/ f : A ---> B et g : B --->C deux applications.
a) Montrer que : f et g invectives ==> g°f invective.
b) Montrer que g⁰f surjective ==> g surjective.
c) Pour toutes parties A1,A2 de A , Montrer que f(A1 U A2 ) = f( A1 ) U f( A2).
2/ Montrer par récurrence que ¥ n € N* , 2exposant n-1《 n!《 n exposant n.
J'ai besoin d'aide pour cet exercice, merci toutes vos réponses d'aide .

@medou-coulibaly , bonjour,

Quelques pistes,

1)a)
Soit $x_1$ et $x_2$ deux éléments de A tels que :
$g o f)(x_1)=(g o f) (x_2)$ c'est à dire $g[f(x_1)]=g[f(x_2]$

Vu que $g$ est injective, on déduit : $f(x_1)=f(x_2)$
Vu que $f$ est injective, on déduit : $x_1=x_2$
d'où la conclusion

1)b)
Regarde la vidéo ici :
https://www.youtube.com/watch?v=nQzI6xejqOE

1)c) Tu peux faire implication directe et implication réciproque, mais le plus simple est de raisonner par équivalences logiques

$y∈f(A1∪A2)y\in f(A_1\cup A_2)$ <=> $∃x∈A1∪A2\exist x \in A_1\cup A_2$ / $y = f (x)$
ce qui équivaut à
$[∃x∈A1[\exist x \in A_1$ / $y = f (x)]$ ou $[∃x∈A2[\exist x \in A_2$ / $y = f (x)]$
ce qui équivaut à
$\in f(A_1)$ ou $y∈f(A2)y\in f(A_2)$
ce qui équivaut à
$y∈f(A1)∪f(A2)y\in f(A_1)\cup f(A_2)$
d'où la conclusion

Pour ta question 2) : $2n−1≤n!≤nn2^{n-1}\le n!\le n^n$

Tu peut prouver par récurrence que $2n−1≤n!2^{n-1}\le n!$

Initialisation pour $n = 1$ ce qui donne $1≤11\le 1$
Tu peut prouver très facilement l'hérédité en multipliant chaque terme de $2n−1≤n!2^{n-1}\le n!$ par $2$

Pour prouver que $n!≤nnn!\le n^n$ il n'y a pas besoin de récurrence car c'est immédiat
$n!=1×2×3×...×nn!=1\times 2\times 3\times ...\times n$
$nn=n×n×n×...×nn^n=n\times n\times n\times ...\times n$

@mtschoon Bonjour Madame, la partie de l'hérédité, je ne comprends pas bien.

@mtschoon Madame aussi la vidéo, je ne comprends pas bien ce qu'il veut dire.
La question 1b

@medou-coulibaly , bonjour,

Pour l'hérédité :

$2n−1≤n!2^{n-1}\le n!$

En multipliant par 2 :
$2n≤n!×2\boxed{2^n}\le \boxed{n!\times 2}$

Or $n≥1n\ge 1$ donc $n+1≥2n+1\ge 2$ , c'est à dire $2≤n+12\le n+1$
Conséquence
$n!×2≤n!×(n+1)n!\times 2\le n!\times (n+1)$
$n!×2≤(n+1)!\boxed{n!\times 2}\le\boxed{ (n+1)!}$

Par transitivité de la relation $≤\le$ , on obtie,t : $2n≤(n+1)!2^n\le (n+1)!$

CQFD

@mtschoon merci beaucoup madame je comprends maintenant

@mtschoon Madame pour la question 1b
J'ai du mal à comprendre la vidéo

@medou-coulibaly ,

Pour le 1)b), la vidéo donne beaucoup de détails explicatifs.
Je t'indique la démarche directe.

Regarde bien la définition de ton cours sur "surjective"

$g o f$ surjective :

$∀z∈C\boxed{\forall z\in C}$ , $x∈A\exist\ x \in A$ / $g o f (x) = z$

$g o f (x) = z$ <=> $g [f (x] = z$

$f(x)∈Bf(x)\in B$

Soit $y = f (x)$

On a donc $g(y)=z\boxed{g(y)=z}$

Donc $g$ surjective de $B$ vers $C$

@mtschoon donc g[f(x)] = z est donc une équation ?

@medou-coulibaly ,
Oui, pour tout $z$ de $C$ , $g o f (x) = z$ est une équation qui admet au moins une solution $x$ dans $A$ vu que $g o f$ est surjective de $A$ vers $C$

@mtschoon ok d'accord merci beaucoup madame.

@medou-coulibaly , de rien !

Si tu as compris la démarche stricte que je t'ai indiquée pour la 1)b), tu peux maintenant relire la la vidéo qui te donne une explication fort détaillée.

@mtschoon ok d'accord madame , mais est-ce que je peux trouver un lien qui me donne le résumé de cours logique et méthode de raisonnement mathématiques