Inéquation avec une valeur absolue
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Exercice de mathématiques première
Bonjour
Exercice :
Montrer que ∀ x ∈ IR |x-1| ≤ x^2-x+1
je réfléchis sur l'exercice, mais je ne sais pas où commencer.
Svp j'ai besoin d'aide, merci pour toutes vos réponses daide.
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@medou-coulibaly Bonjour,
Etudie les différents cas, selon que xxx est inférieur, égal ou supérieur à 1.
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@Noemi je ne comprends pas ce que vous voulez dire
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A quoi est égal ∣x−1∣\vert x-1 \vert∣x−1∣ ?
si x<1x\lt1x<1
si x=1x = 1x=1
si x>1x\gt1x>1
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@Noemi
Si x < 1 alors | x- 1 | < 0
Si x = 1 alors | x- 1 | = 0
Si x > 1 alors | x- 1 | > 0
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Non, revois le cours :
si x<1x\lt1x<1 ; ∣x−1∣=1−x\vert x-1 \vert= 1-x∣x−1∣=1−x
si x=1x = 1x=1 ; ∣x−1∣=0\vert x-1 \vert= 0∣x−1∣=0
si x>1x\gt1x>1 ; ∣x−1∣=x−1\vert x-1 \vert= x-1∣x−1∣=x−1Tu résous ensuite les inéquations pour chaque cas
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BBlack-Jack dernière édition par
@medou-coulibaly a dit dans Inéquation avec une valeur absolue :
@Noemi
Si x < 1 alors | x- 1 | < 0
Si x = 1 alors | x- 1 | = 0
Si x > 1 alors | x- 1 | > 0Bonjour,
Tu dois aller revoir ton cours sur les valeurs absolues.
|x-1| >= 0 pour tout x
|x-1| = (x-1) si x >= 1
|x-1| = -(x-1) = (1 - x) si x < 1Continue ...
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@Noemi ok je vais essayer
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@Noemi ok d'accord
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@Noemi je suis là maintenant j'ai bien relu les notions de valeurs absolues
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Si x<1x \lt1x<1, tu résous 1−x≤x2−x+11-x\leq x^2-x+11−x≤x2−x+1
soit x2≥0x^2\geq 0x2≥0
je te laisse conclure
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@Noemi je n'y parviens pas à conclure
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Bonjour,
@medou-coulibaly , je regarde la conclusion que te demande Noemi et où tu bloques.
1er cas : x<1\boxed{x\lt 1}x<1
Dans ce 1er cas, l'inégalité proposée par l'énoncé équivaut à x2≥0x^2\ge 0x2≥0 (si tu as compris et fait le calcul)
x2x^2x2 est un carré , donc forcément positif (au sens large ) car tout carré est positif (au sens large)
Donc l'inégalité x2≥0x^2\ge 0x2≥0 est vraie (dans ce premier cas).
Donc, par équivalence logique , l'inégalité de l'énoncé est vraie aussi (dans ce premier cas).Il te reste à voir ce qui se passe dans le 2ème cas x=1\boxed{x=1}x=1 , puis dans le 3ème cas x>1\boxed{x\gt 1}x>1
Tu peux donner tes calculs/réponses pour vérification si tu le souhaites.
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@mtschoon premier cas x<1
On a x-1 ≤ x² -x+1 = x -x²+x ≤ 1+1
= -x² ≤ 1+1
= x² ≥ -1+1
= x² ≥ 0
je ne sais pas si je devrais passer par | a-b | ≤ c ==>
c ≤ a-b ≤ c
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Vérifie ce que tu écris.
Tu notes premier cas et l'inégalité débute avec x−1x-1x−1,
Si tu fais le cas 3
l'inégalité devient :
x−1≤x2−x+1x-1 \leq x^2-x+1x−1≤x2−x+1 soit
x−1−x2+x−1≤0x-1-x^2+x-1 \leq 0x−1−x2+x−1≤0
−x2+2x−2≤0-x^2+2x-2 \leq 0−x2+2x−2≤0je te laisse poursuivre.
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@Noemi mais est ce que jai reussi le 1 er cas ?
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Non, ce que tu as écris est faux.
Reprend mes indications.
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@Noemi ok
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@Noemi - x² +2x-2 ≤ 0
je pense que je dois appliquer discriminant
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1 cas : Si x<1x \lt1x<1,
l'inégalité devient
1−x≤x2−x+11-x\leq x^2-x+11−x≤x2−x+1
x2−x+1−1+x≥0x^2-x+1-1+x \geq0x2−x+1−1+x≥0
soit en simplifiant :
x2≥0x^2\geq 0x2≥0Pour le 3ème cas pour trouver les racines de −x2+2x−2=0-x^2+2x-2=0−x2+2x−2=0, tu peux calculer le discriminant.
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@Noemi je travaille avec un téléphone portable, donc je n'arrive pas à vite écrire
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@Noemi maintenant j'aimerais savoir pour le 2e cas
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@Noemi oui oui
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@Noemi 3e cas :
-x^2 + 2x -2 ≤ 0
==> x^2+ x ≤ 2
==> 2x^2 ≥ 2
==> x^2 ≥ 1
2e cas x=1
-x^2+2x-2 = 0
Δ = 4 - 4×(-1)×(-2)
Δ = -4 < 0
donc pas de solutions
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C'est faux, revois les calculs.
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@Noemi quand je calcule le discrimimant je touve tjrs discriminant inferieur à zéro
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@Noemi j'ai supposé votre 3e cas comme mon 2e cas et votre 2e cas comme mon 3e cas
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Tu trouves pas de solution réelle pour l'équation −x2+2x−2=0-x^2+2x-2=0−x2+2x−2=0
que peut-on en déduire pour l'inéquation : −x2+2x−2≤0-x^2+2x-2 \leq 0−x2+2x−2≤0 ?Pour le cas ou x=1x= 1x=1, tu remplaces xxx par 1 dans les deux termes de l'inéquation.
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@Noemi pour x =1
je trouve 1-1≤ 1^2 -1+1
⇒ 0 ≤ 1
voilà ce que je trouve
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@Noemi -x^2+2x-2 ≤0 n'admet pas de solutions dans lR
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Vérifie ta conclusion,
Les deux inéquations sont vraies pour tout réel.
L'équation −x2+2x−2=0-x^2+2x-2=0−x2+2x−2=0 n'admet pas de solution réelle donc le polynôme −x2+2x−2-x^2+2x-2−x2+2x−2 est du signe du terme de plus haut degré donc négatif.
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@Noemi ok d'accord j'ai compris maintenant