Inéquation avec une valeur absolue

Exercice de mathématiques première
Bonjour
Exercice :
Montrer que ∀ x ∈ IR |x-1| ≤ x^2-x+1
je réfléchis sur l'exercice, mais je ne sais pas où commencer.
Svp j'ai besoin d'aide, merci pour toutes vos réponses daide.

@medou-coulibaly Bonjour,

Etudie les différents cas, selon que $x$ est inférieur, égal ou supérieur à 1.

@Noemi je ne comprends pas ce que vous voulez dire

@medou-coulibaly

A quoi est égal $∣x−1∣\vert x-1 \vert$ ?
si $x<1x\lt1$
si $x = 1$
si $x>1x\gt1$

@Noemi
Si x < 1 alors | x- 1 | < 0
Si x = 1 alors | x- 1 | = 0
Si x > 1 alors | x- 1 | > 0

@medou-coulibaly

Non, revois le cours :

si $x<1x\lt1$ ; $∣x−1∣=1−x\vert x-1 \vert= 1-x$
si $x = 1$ ; $∣x−1∣=0\vert x-1 \vert= 0$
si $x>1x\gt1$ ; $∣x−1∣=x−1\vert x-1 \vert= x-1$

Tu résous ensuite les inéquations pour chaque cas

@medou-coulibaly a dit dans Inéquation avec une valeur absolue :

@Noemi
Si x < 1 alors | x- 1 | < 0
Si x = 1 alors | x- 1 | = 0
Si x > 1 alors | x- 1 | > 0

Bonjour,

Tu dois aller revoir ton cours sur les valeurs absolues.

|x-1| >= 0 pour tout x

|x-1| = (x-1) si x >= 1
|x-1| = -(x-1) = (1 - x) si x < 1

Continue ...

@Noemi ok je vais essayer

@Noemi ok d'accord

@Noemi je suis là maintenant j'ai bien relu les notions de valeurs absolues

@medou-coulibaly

Si $\lt1$ , tu résous $1−x≤x2−x+11-x\leq x^2-x+1$
soit $x2≥0x^2\geq 0$
je te laisse conclure

@Noemi je n'y parviens pas à conclure

Bonjour,

@medou-coulibaly , je regarde la conclusion que te demande Noemi et où tu bloques.

1er cas : $x<1\boxed{x\lt 1}$

Dans ce 1er cas, l'inégalité proposée par l'énoncé équivaut à $x2≥0x^2\ge 0$ (si tu as compris et fait le calcul)

$x^2$ est un carré , donc forcément positif (au sens large ) car tout carré est positif (au sens large)

Donc l'inégalité $x2≥0x^2\ge 0$ est vraie (dans ce premier cas).
Donc, par équivalence logique , l'inégalité de l'énoncé est vraie aussi (dans ce premier cas).

Il te reste à voir ce qui se passe dans le 2ème cas $x=1\boxed{x=1}$ , puis dans le 3ème cas $x>1\boxed{x\gt 1}$

Tu peux donner tes calculs/réponses pour vérification si tu le souhaites.

@mtschoon premier cas x<1
On a x-1 ≤ x² -x+1 = x -x²+x ≤ 1+1
= -x² ≤ 1+1
= x² ≥ -1+1
= x² ≥ 0
je ne sais pas si je devrais passer par | a-b | ≤ c ==>
c ≤ a-b ≤ c

@medou-coulibaly

Vérifie ce que tu écris.
Tu notes premier cas et l'inégalité débute avec $x - 1$ ,
Si tu fais le cas 3
l'inégalité devient :
$\leq x^2-x+1$ soit
$x−1−x2+x−1≤0x-1-x^2+x-1 \leq 0$
$−x2+2x−2≤0-x^2+2x-2 \leq 0$

je te laisse poursuivre.

@Noemi mais est ce que jai reussi le 1 er cas ?

@medou-coulibaly

Non, ce que tu as écris est faux.
Reprend mes indications.

@Noemi ok

@Noemi - x² +2x-2 ≤ 0
je pense que je dois appliquer discriminant

@medou-coulibaly

1 cas : Si $\lt1$ ,
l'inégalité devient
$1−x≤x2−x+11-x\leq x^2-x+1$
$x2−x+1−1+x≥0x^2-x+1-1+x \geq0$
soit en simplifiant :
$x2≥0x^2\geq 0$

Pour le 3ème cas pour trouver les racines de $x^2+2x-2=0$ , tu peux calculer le discriminant.

@Noemi je travaille avec un téléphone portable, donc je n'arrive pas à vite écrire

@Noemi maintenant j'aimerais savoir pour le 2e cas

@medou-coulibaly

Pour le deuxième cas, tu remplaces $x$ par 1.

As-tu terminé le troisième cas ?

@Noemi oui oui

@Noemi 3e cas :
-x^2 + 2x -2 ≤ 0
==> x^2+ x ≤ 2
==> 2x^2 ≥ 2
==> x^2 ≥ 1
2e cas x=1
-x^2+2x-2 = 0
Δ = 4 - 4×(-1)×(-2)
Δ = -4 < 0
donc pas de solutions

@medou-coulibaly

C'est faux, revois les calculs.

@Noemi quand je calcule le discrimimant je touve tjrs discriminant inferieur à zéro

@Noemi j'ai supposé votre 3e cas comme mon 2e cas et votre 2e cas comme mon 3e cas

@medou-coulibaly

Tu trouves pas de solution réelle pour l'équation $x^2+2x-2=0$
que peut-on en déduire pour l'inéquation : $−x2+2x−2≤0-x^2+2x-2 \leq 0$ ?

Pour le cas ou $x = 1$ , tu remplaces $x$ par 1 dans les deux termes de l'inéquation.

@Noemi pour x =1
je trouve 1-1≤ 1^2 -1+1
⇒ 0 ≤ 1
voilà ce que je trouve

@Noemi -x^2+2x-2 ≤0 n'admet pas de solutions dans lR

@medou-coulibaly

Vérifie ta conclusion,
Les deux inéquations sont vraies pour tout réel.
L'équation $x^2+2x-2=0$ n'admet pas de solution réelle donc le polynôme $x^2+2x-2$ est du signe du terme de plus haut degré donc négatif.

@Noemi ok d'accord j'ai compris maintenant