Fonction Exponentielle, encadrement

Bonjour
S'il vous plait vous pouviez m'aidez a résoudre ce encadrement
produit de k=1 à n (1+1/K)^k<e^n<produit de k=1 à n (1+1/K)^k+1 sachant que
x/1+x<ln(1+x)<x

@RAJAE-KHAFIF , bonjour,

Je te conseille une récurrence pour prouver que :
$∏k=1k=n(1+1k)k<en<∏k=1k=n(1+1k)k+1\displaystyle \prod_{k=1}^{k=n}(1+\dfrac{1}{k})^k\lt e^n\lt \prod_{k=1}^{k=n}(1+\dfrac{1}{k})^{k+1}$

Initialisation pour n=1 :
$(1+1)1<e1<(1+1)2(1+1)^1\lt e^1\lt (1+1)^2$ Vrai

Hérédité :

hypothèse à un ordre $n$ de $N^*$ :
$∏k=1k=n(1+1k)k<en<∏k=1k=n(1+1k)k+1\displaystyle \prod_{k=1}^{k=n}(1+\dfrac{1}{k})^k\lt e^n\lt \prod_{k=1}^{k=n}(1+\dfrac{1}{k})^{k+1}$ formule ( * )

Conclusion à démontrer :

$∏k=1k=n+1(1+1k)k<en<∏k=1k=n+1(1+1k)k+1\displaystyle \prod_{k=1}^{k=n+1}(1+\dfrac{1}{k})^k\lt e^n\lt \prod_{k=1}^{k=n+1}(1+\dfrac{1}{k})^{k+1}$ formule ( ** )

Idée :

Tu prouves que
$(1+1n+1)n+1<e<(1+1n+1)n+2(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\lt e\lt (1+\dfrac{1}{n+1})^{n+2}$ formule ( *** )

En multipliant membre à membre ( entre nombres strictement positifs) la formule ( * ) avec la formule ( *** ) tu obtiendras la formule ( ** ) qu'il fallait démontrer.

@RAJAE-KHAFIF

Il reste à donc à prouver la formule ( *** )

Pour cela , utilise la relation donnée :
Pour tout $\gt 0$ , $x1+x<ln(1+x)<x\dfrac{x}{1+x}\lt ln(1+x)\lt x$

Première partie :
$ln(1+x)<xln(1+x)\lt x$
en prenant l'exponentielle (fonction strictement croissante), tu obtiens
$\lt e^x$

Pour $x=1n+1x=\dfrac{1}{n+1}$ , cela donne :
$1+1n+1<e(1n+1)1+\dfrac{1}{n+1}\lt e^{(\dfrac{1}{n+1})}$

En élevant à la puissance $(n + 1)$ , cela donne :
$(1+1n+1)n+1<e(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\lt e$

Deuxième partie :
En partant de $x1+x<ln(1+x)\dfrac{x}{1+x}\lt ln(1+x)$ et en pratiquant comme en première partie, tu dois trouver
$e<(1+1n+1)n+2e\lt (1+\dfrac{1}{n+1})^{n+2}$

Bons calculs.
Reposte si besoin.