Exercice sur les limites

Bonsoir j'ai un exercice et j'aimerais des vérifications de votre part

Lim(x²-5x+6)/(3-x)
x tend vers 3 à gauche
Lim(x²-5x+6)/(3-x)
x tend vers 3 à droite
lim (x³+1)/(x²-x+1)
x tend vers 3 à gauche
lim √(3x+3) -3/(4-x)
x tend vers 4 à gauche
lim √(3x+3) -3/(4-x)
x tend vers 4 à droite
Réponse
la limite égal à -1( j'ai remplacé x par 3 et j'ai trouvé une forme indéterminée après j'ai factoriser puis simplifier)
la limite égal à -1 aussi ( j'ai fait la même méthode comme pour le premier)
la limite égal à 4
la limite égal à -1/2
la limite égal à -1/2

Pour les deux premiers, il faudrait préciser si c'est $1^-$ ou $1^+$ .
Idem pour le 3, le 4 et le 5.
Pour le 4 et le 5, c'est :
$3x+3−34−x\dfrac{\sqrt{3x+3}-3}{4-x}$ ?
Ou bien
$3x−3−34−x\dfrac{\sqrt{3x-3}-3}{4-x}$ ?

@Noemi a dit dans Exercice sur les limites :

@Maxime-174 Bonjour,

Pour les deux premiers, il faudrait préciser si c'est $1^-$ ou $1^+$ .
Idem pour le 3, le 4 et le 5.
Pour le 4 et le 5, c'est :
$3x+3−34−x\dfrac{\sqrt{3x+3}-3}{4-x}$ ?
Ou bien
$3x−3−34−x\dfrac{\sqrt{3x-3}-3}{4-x}$ ?

Bonjour,

Il y a, je pense, un soucis.

Tes remarques :

Pour les deux premiers, il faudrait préciser si c'est $1^-$ ou $1^+$ .
Idem pour le 3, le 4 et le 5.

Pour moi, cela ne se fait pas.

On est sensé évidemment calculer les limites à gauche ou à droite, c'est à dite par valeur inférieure ou supérieure de la variable ... mais la valeur de la limite ne doit pas mentionner si sa valeur est inférieure ou supérieure à celle calculée.

Lim (x--> +3-) [(x²-5x+6)/(3-x)] = -1 est correct.

Lim (x--> +3-) [(x²-5x+6)/(3-x)] = $1^+$ n'est pas correct (ou plutôt ne s'écrit pas ainsi)

Exemple piqué sur le net :

La limite à gauche de la fonction f en a est sa limite quand x tend vers a par valeurs inférieures et sa limite à droite en a est sa limite quand x tend vers a par valeurs supérieures. Par exemple, la fonction f : x ↦ |x|/ x n'est pas définie en 0 ; lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures, f(x) tend vers -1 et lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures, f(x) tend vers 1. La limite à gauche de f en 0 est -1 et sa limite à droite en 0 est 1

Mais je ne suis pas matheux.

@Black-Jack Bonjour,

Cette notation est utilisée (mais doit être expliquée) et Maxime 174 peut éventuellement nous indiquer si le professeur de la classe demande cette précision.
Si ce n'est pas le cas, les réponses de Maxime 174 sont correctes.

Un lien : https://www.methodemaths.fr/limites/

Bonsoir ,

Comme indique Black-Jack, mathématiquement parlant,
"On est sensé évidemment calculer les limites à gauche ou à droite, c'est à dite par valeur inférieure ou supérieure de la variable ... mais la valeur de la limite ne doit pas mentionner si sa valeur est inférieure ou supérieure à celle calculée"

Ceci est tout à fait exact .

Une limite ( si elle existe , car ce n'est pas toujours les cas) est un réel ou $+∞+\infty$ ou $−∞-\infty$ . C'est tout.

Heureusement que dans le site proposé par Noemi il indiqué que les formules données du genre $1∞\dfrac{1}{\infty}$ étaient seulement à écrire en brouillon, car elles sont totalement intolérables.
Je me demande même comment on ose les écrire...! ! ! (même au brouillon...)

@Maxime-174 , si besoin, je te rédige la première limite.
C'est j'espère ce que tu as fait.

$f(x)=x2−5x+63−xf(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{3-x}$

Condition d'existence : $3−x≠03-x\ne 0$ <=> $x≠3x\ne 3$

$D_f=R$ \ { $3$ } , d'où l'intérêt d'étudier le comportement de f lorsque $x$ tend vers $3$ (vu que $f (3)$ n'existe pas)

On travaille sur $D_f$

En factorisant le numérateur :
pour $x≠3x\ne 3$ , $f(x)=(x−3)(x−2)3−xf(x)=\dfrac{(x-3)(x-2)}{3-x}$

Après simplification par $(x - 3)$ ,
pour $x≠3x\ne 3$ $f (x) = - (x - 2) = 2 - x$

Donc :

$lim⁡x→3,x<3f(x)=−(3−2)=2−3=−1\displaystyle \lim_{x\to 3, x\lt 3}f(x)=-(3-2)=2-3=-1$ (limite à gauche de 3)

$lim⁡x→3,x>3f(x)=−(3−2)=2−3=−1\displaystyle \lim_{x\to 3, x\gt 3}f(x)=-(3-2)=2-3=-1$ (limite à droite de 3)

Remarque : on pourrait définir le prolongement par continuité de $f$ en $3$ , mais cela ne semble pas être la question posée.

@mtschoon bonsoir
J'ai bien compris vos explications merci à vous

Contente, @Maxime-174 , qu mes explications te conviennent.

Je regarde la limite suivante pour $g(x)=x3+1x2−x+1g(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2-x+1}$
Ta réponse est bonne.

Pour tout x réel, $x2−x+1≠0x^2-x+1\ne 0$ vu que l'équation $x^2-x+1=0$ n'a pas de solution ( $Δ<0\Delta \lt 0$ ), $g$ et définie et dérivable sur $R$ , donc continue sur $R$ , donc en particulier pour $x = 3$
donc $lim⁡x→3,x<3g(x)=g(3)=4\displaystyle \lim_{x\to 3, x\lt 3} g(x)=g(3)=4$

Si elle avait été demandée, la limite à droite serait $4$ aussi.

Remarque : ce n'est pas indispensable, mais tu peux aussi simplifier $g (x)$ pour tout $x$ réel
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

pour trouver cela, tu peux utiliser l'identité remarquable $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

donc : pour tout $x$ réel :
$g(x)=(x+1)(x2−x+1)x2−x+1g(x)=\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1}$

Pour tout $x$ réel : $g (x) = x + 1$

donc $lim⁡x→3,x<3g(x)=g(3)=3+1=4\displaystyle \lim_{x\to 3, x\lt 3} g(x)=g(3)=3+1=4$

@Maxime-174 , pour la dernière fonction,
s'il s'agit de $h(x)=3x+3−34−xh(x)=\sqrt{3x+3}-\dfrac{3}{4-x}$ comme tu l'as écrit, tes réponses sont à revoir.

@mtschoon bonsoir
Pour la dernière question c'est
Lim√(3x-3)-3/4-x. 3x-3 est sous la racine et c'est le tour divisé par 4-x

@Maxime-174, bonjour,

Merci pour ton indication.
La dernière expression est donc $h(x)=3x−3−34−xh(x)=\dfrac{\sqrt{3x-3}-3}{4-x}$

Tu as dû trouver que $Dh=[1,4[∪]4,+∞[D_h=[1,4[\cup ]4,+\infty[$

donc, $h (4)$ n'existe pas.
Lorsque $x$ tend vers $4$ , numérateur et dénominateur tendent vers $0$ , donc forme indéterminée.

Tu as dû lever l'indétermination en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du numérateur :

Pour tout $x$ de $D_f$ :

$h(x)=(3x−3−3)(3x−3+3)(4−x)(3x+3+3)h(x)=\dfrac{(\sqrt{3x-3}-3)(\sqrt{3x-3}+3)}{(4-x)(\sqrt{3x+3}+3)}$
Après calcul :
$h(x)=3x−12(4−x)(3x+3+3)h(x)=\dfrac{3x-12}{(4-x)(\sqrt{3x+3}+3)}$
$h(x)=(−3)(4−x)(4−x)(3x+3+3)=−3(3x+3+3)h(x)=\dfrac{(-3)(4-x)}{(4-x)(\sqrt{3x+3}+3)}=\dfrac{-3}{(\sqrt{3x+3}+3)}$

Avec cette expression, on obtient bien les limites (à gauche et à droite) de 4) que tu as indiquées.

En bref, toutes les réponses que tu as proposées sont exactes. Bravo !

@mtschoon bonjour
Merci beaucoup à vous

De rien @Maxime-174 .
Tu as bien travaillé.