4. Probabilité nombre de boules inconnues

Probabilité nombre de boules inconnues

  • M

    Bonjour à tous, j'ai fais cet exercice mais je ne l'ai pas bien compris, serait-il possible que quelqu'un corrige mes réponses s'il vous plait?
    Voici l'énoncé :
    Une urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges, toutes indiscernables au toucher.
    On effectue des tirages successifs d’une boule dans l’urne selon le protocole suivant :
    Si a un rang quelconque ,on tire une boule rouge, celle-ci est remise dans l'urne avant le tirage suivant.
    Et si à un rang quelconque ,on tire une boule blanche, elle est retirée définitivement retirée .
    a)Quel est la probabilité de tirer au moins une boule blanche au cours des n premier tirages?
    b)Quel est la probabilité de tirer exactement une boule blanche au cours des n premiers tirages?
    c)Sachant qu'au cours des n premiers tirages on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité qu'elle ai été tirée en dernier?

    Dans cette question, on suppose que l’urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges, où b et r sont des entiers naturels non nuls. (a) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au premier tirage?

    voici mes réponses (j'ai essayé d'écrire en latex sur cet exo):

    a) Ici on demande P(X>=1) "supérieur ou égal à 1".
    On sait que P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\geq 1) = 1 -P(X=0)P(X≥1)=1−P(X=0) = (n0)\binom{n}{0}(0n​) p0p^0p0 (1−p)n−0=1−(1-p)^{n-0}=1- (1−p)n−0=1− n{n}n (rr+b)n(\frac{r}{r+b})^{n}(r+br​)n

    p= br+b\frac{b}{r+b}r+bb​
    (n1)=n\binom{n}{1}=n (1n​)=n

    b) On sait que P(X=1) = (n1)\binom{n}{1}(1n​) p1p^1p1 (1−p)n−1(1-p)^{n-1}(1−p)n−1

    = n{n}n br+b\frac{b}{r+b}r+bb​ (1−br+b)n−1(1- \frac{b}{r+b})^{n-1}(1−r+bb​)n−1 = n{n}n br+b\frac{b}{r+b}r+bb​ (rr+b)n−1(\frac{r}{r+b})^{n-1}(r+br​)n−1

  • M

    Voici ce que j'ai pu écrire sur une feuille : https://ibb.co/JygqV5x

  • mtschoon

    @Marvin bonjour/bonsoir,

    Je regarde un peu tes questions,
    (ce que tu as indiqué en fichier joint n'est pas bon)

    Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au premier tirage ?
    Assez évident : bb+r\dfrac{b}{b+r}b+rb​

    a) Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule blanche au cours des n premier tirages?

    Très bonne idée que tu as eu de passer par l'évènement contraire : n boules rouges au cours des n premiers tirages.
    probabilité (rb+r)n\biggr( \dfrac{r}{b+r}\biggr)^n(b+rr​)n

    La probabilité de tirer au moins une boule blanche au cours des n premier tirages est donc : 1−(rb+r)n1-\biggr( \dfrac{r}{b+r}\biggr)^n1−(b+rr​)n

    Je te déconseille d'utiliser la formule de la loi binomiale car la probabilité de tirer une boule blanche est variable, mais vu qu'il s'agit exclusivement des boules rouges (et qu'elles sont remises) , tu aurais obtenu la bonne réponse si tu n'avais pas fait une erreur sur (n0){n}\choose {0}(0n​) qui vaut 111 et non nnn

    b) Quelle est la probabilité de tirer exactement une boule blanche au cours des n premiers tirages?

    Tu ne peux absolument pas utiliser la loi binomiale car l'énoncé indique : "si à un rang quelconque ,on tire une boule blanche, elle est définitivement retirée"
    C'est cela toute la difficulté de l'exercice !

    Tu dois faire du "cas par cas" et ajouter les cas ( pas de formule toute faite...)

  • mtschoon

    @Marvin ,

    Pistes pou le b)

    Si besoin, pour comprendre clairement la démarche, tu peux faire un arbre probabiliste avec deux ou trois niveaux de branches.

    Cas où la boule blanche est tirée au rang 1 :
    Probabiliteˊ=(bb+r)(rb+r−1)n−1Probabilité = \biggr(\dfrac{b}{b+r}\biggr)\biggr(\dfrac{r}{b+r-1}\biggr)^{n-1}Probabiliteˊ=(b+rb​)(b+r−1r​)n−1

    Cas où la boule blanche est tirée au rang 2 :
    Probabiliteˊ=(rb+r)(bb+r)(rb+r−1)n−2Probabilité = \biggr(\dfrac{r}{b+r}\biggr)\biggr(\dfrac{b}{b+r}\biggr)\biggr(\dfrac{r}{b+r-1}\biggr)^{n-2}Probabiliteˊ=(b+rr​)(b+rb​)(b+r−1r​)n−2

    Cas où la boule blanche est tirée au rang 3 :
    Probabiliteˊ=(rb+r)2(bb+r)(rb+r−1)n−3Probabilité = \biggr(\dfrac{r}{b+r}\biggr)^2\biggr(\dfrac{b}{b+r}\biggr)\biggr(\dfrac{r}{b+r-1}\biggr)^{n-3}Probabiliteˊ=(b+rr​)2(b+rb​)(b+r−1r​)n−3
    ...
    etc
    ...
    Cas où la boule blanche est tirée au rang (n-1) :
    Probabiliteˊ=(rb+r)n−2(bb+r)(rb+r−1)Probabilité = \biggr(\dfrac{r}{b+r}\biggr)^{n-2}\biggr(\dfrac{b}{b+r}\biggr)\biggr(\dfrac{r}{b+r-1}\biggr)Probabiliteˊ=(b+rr​)n−2(b+rb​)(b+r−1r​)

    Cas où la boule blanche est tirée au rang n :
    Probabiliteˊ=(rb+r)n−1(bb+r)Probabilité = \biggr(\dfrac{r}{b+r}\biggr)^{n-1}\biggr(\dfrac{b}{b+r}\biggr)Probabiliteˊ=(b+rr​)n−1(b+rb​)

    Tu dois ajouter toutes ces probabilités, mettre (bb+r)\biggr(\dfrac{b}{b+r}\biggr)(b+rb​) en facteur et tenter de faire apparaître une identité remarquable dans le second facteur pour obtenir une expression plus réduite.

    Vérifie tout (j'ai tapé vite)

    Bons calculs.

  • M

    Merci beaucoup pour ton aide, j'ai mieux compris grâce à tes réponses.
    Je reprendrai cet exercice à tête reposé, ça ne sert à rien d'appliquer les formules bêtement en effet.
    Et il y a des méthodes beaucoup moins utiles que d'autres en effet...

  • mtschoon

    @Marvin , bonjour,

    Oui, il faut faire ce b) à tête reposée.

    Quand les hypothèses permettent d'appliquer directement des formules, il ne faut pas s'en priver ! Elles sont là pour ça.

    La difficulté ici , c'est qu'avec ces boules blanches que l'on ne remet pas, il n'y a pas n épreuves répétées indépendantes, donc pas de loi binomiale utilisable...

    Pour réduire le second facteur , comme je te l'indique en fin de réponse, pense à l'identité :
    an−bn=(a−b)(an−1+ban−2+b2an−3+...+bn−1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-1})an−bn=(a−b)(an−1+ban−2+b2an−3+...+bn−1)

    Ainsi, pour a≠ba \ne ba​=b :
    an−1+ban−2+b2an−3+...+bn−1=an−bna−ba^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-1}=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}an−1+ban−2+b2an−3+...+bn−1=a−ban−bn​
    Eventuellemnt, tu peux regarder ici :
    https://www.youtube.com/watch?v=QEkPh91_N1k

    Bon travail.

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