divisibilité, maths expertes
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Livindiam Livin dernière édition par
bonjour
je dois montrer que 6^n -1 = 5(1+6+6^2+6^3+...+6^n-1)
Je veux montrer que 6^n -1 est un multiple de 5 par récurrence, mais est ce que cela réponds à la question?
Merci
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@Livindiam-Livin Bonjour,
Tu peux démontrer par récurrence que la relation est vraie.
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Livindiam Livin dernière édition par
@Noemi merci
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@Livindiam-Livin
Ton écriture est confuse au sujet de n-1 car manque de parenthèses.
Je pense que tu as voulu écrire :
6n−1=5(1+6+62+...+6n−1)6^n-1=5(1+6+6^2+...+6^{n-1})6n−1=5(1+6+62+...+6n−1)Bien sûr, si une récurrence est imposée par ton énoncé tu la fais, mais si ce n'est pas le cas, je te la déconseille.
La formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique donne la réponse immédiatement.Vu que tu postes en Terminale, tu connais forcément les suites géométriques que tu as étudiées en Première.
1+6+62+...+6n−11+6+6^2+...+6^{n-1}1+6+62+...+6n−1 est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 6
1+6+62+...+6n−1=1×1−6n1−6=1−6n−51+6+6^2+...+6^{n-1}=1\times \dfrac{1-6^n}{1-6}= \dfrac{1-6^n}{-5}1+6+62+...+6n−1=1×1−61−6n=−51−6n
1+6+62+...+6n−1=6n−151+6+6^2+...+6^{n-1}=\dfrac{6^n-1}{5}1+6+62+...+6n−1=56n−1
d'où la réponse 6n−1=5(1+6+62+...+6n−1)\boxed{6^n-1=5(1+6+6^2+...+6^{n-1})}6n−1=5(1+6+62+...+6n−1)