Devoir sur les complexes
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*__mnl__elm__* dernière édition par
Bonjour, voici l'énoncé de mon devoir :
Soit α ∈ ℂ \ {0} une racine cinquième de l'unité c'est-à-dire α⁵ = 1
1.Montrer que 1+α+α²+α³+α⁴=0
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Calculer en fonction de α: 1+2α+3α²+4α³+5α⁴
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Comment choisir l'entier naturel n pour que
(√3 + i )^n Soit reel? Soit imaginaire ?
Merci beaucoup à ceux qui prendront le temps de me répondre.
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@__mnl__elm__ Bonjour,
Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Pour la première question, tu peux utiliser la relation donnant la somme des termes d'une suite géométrique.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonsoir,
@__mnl__elm__ , Il aurait été heureux que l'énoncé impose α≠1\alpha \ne 1α=1
Pour la 1), comme te l'a dit Noemi, utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
Si besoin, regarde ici au IV 3)
https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/Tu trouves ainsi :
1+α...+α4=1−α51−α1+\alpha ...+\alpha^4=\dfrac{1-\alpha^5}{1-\alpha}1+α...+α4=1−α1−α5Vu que α5=1\alpha^5=1α5=1, tu obtiens la réponse voulue
Un idée possible pour la 2)
S=1+2α+3α2+4α3+5α4S=1+2\alpha+3\alpha^2+4\alpha^3+5\alpha^4S=1+2α+3α2+4α3+5α4
En multipliant par α\alphaα :
αS=α+2α2+3α3+4α4+5α5\alpha S=\alpha+2\alpha^2+3\alpha^3+4\alpha^4+5\alpha^5αS=α+2α2+3α3+4α4+5α5En retranchant :
S−αS=1+α+..+α4+5α5S-\alpha S=1+\alpha+..+\alpha^4+5\alpha^5S−αS=1+α+..+α4+5α5En utilisant le résultat de la première question, tu obtiens
S−αS=0+5α5S-\alpha S=0+5\alpha^5S−αS=0+5α5
c'est à dire :
S(1−α)=5α5S(1-\alpha)=5\alpha^5S(1−α)=5α5En divisant par (1−α)(1-\alpha)(1−α) tu obtiendras l'expression de SSS cherchée.
Piste pour la 3), tu peux passer par la forme exponentielle
3+i=2eiπ6\sqrt 3+i=2e^{i\dfrac{\pi}{6}}3+i=2ei6π
(3+i)n=2n einπ6(\sqrt 3+i)^n=2^n\ e^{i\dfrac{n\pi}{6}}(3+i)n=2n ei6nπTu réfléchis aux arguments pour que (3+i)n(\sqrt 3+i)^n(3+i)n soit réel ou imaginaire pur.
