Démonstration d'égalités

[Vani]

Bonjour, je suis bloquée sur quelques démonstration pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?
Voici l'énoncé :
Soit x un réel quelconque. Démontrer les égalités suivantes :

1. $(cos(x)-sin(x{)}^2$ $=$ $1-sin(2x)$
2. $4co{s}^2(x)+2si{n}^2(x)=3+cos(x)$
3. $co{s}^4(x)-si{n}^4(x)=cos(2x)$

J'ai essayé avec quelques formules de cours :

• $cos(2a)=co{s}^2(a)-si{n}^2(a)=1-2si{n}^2(a)=2co{s}^2(a)-1$

• $sin(2a)=2sin(a)cos(a)$

• $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$

• $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$

• $sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$

• $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

Et j'ai pu faire ceci :

1. $(cos(x)-sin(x{)}^2$ $=co{s}^2(x)-si{n}^2(x)$
   $=1-2si{n}^2(x)$

2. pour la 2ème j'ai tenté de mettre que des cosinus pour simplifier :
   $4co{s}^2(x)+2si{n}^2(x)$$=$$4co{s}^2(x)+2\times (2co{s}^2(x)-1)=8co{s}^2(x)-2$

3. $co{s}^4(x)-si{n}^4(x)$$=$$co{s}^2(x)\times co{s}^2(x)-si{n}^2(x)si{n}^2(x)=cos(x+x)=cos(2x)$

[Noemi]

@Vani94 Bonsoir,

Pour la première, je suppose que c'est : $(cos(x)-sin(x){)}^2=1-sin(2x)$
$(cos(x)-sin(x){)}^2=co{s}^{2}x-2sin(x)cos(x)+si{n}^2(x)$
$=....$

Pour la deuxième, une erreur dans la relation à vérifier
$4co{s}^2(x)+2si{n}^2(x)=2co{s}^2(x)+2co{s}^2(x)+2si{n}^2(x)=2co{s}^2(x)+2$
$=....$

Pour la troisième
$co{s}^4(x)-si{n}^4(x)=(co{s}^2(x)+si{n}^2(x))(co{s}^2(x)-si{n}^2(x))=....$

[Vani]

@Noemi
Bonsoir et merci pour votre aide, du coup si je continue :

Pour la deuxième,
$4co{s}^2(x)+2si{n}^2(x)=2co{s}^2(x)+2co{s}^2(x)+2si{n}^2(x)=2co{s}^2(x)+2cos(0)=2co{s}^2(x)+2=cos(2x)+1+2=cos(2x)+3$

Pour la troisième
$co{s}^4(x)-si{n}^4(x)=(co{s}^2(x)+si{n}^2(x))(co{s}^2(x)-si{n}^2(x))=(co{s}^2(x)-si{n}^{(}x))=cos(2x)$

Par contre pour la 1ère je ne comprends pas pourquoi vous avez utilisé l'expression de sin(2x) alors que c'est le résultat qu'il faut démontrer...

[Noemi]

@Vani94

Pour la première :
$(cos(x)-sin(x){)}^2=co{s}^{2}x-2sin(x)cos(x)+si{n}^2(x)$
c'est l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$(cos(x)-sin(x){)}^2=co{s}^{2}x-2sin(x)cos(x)+si{n}^2(x)$
$=1-2sin(x)cos(x)=....$

[Vani]

@Noemi
Bonjour,
merci je comprends mieux maintenant.