DM nombres complexes

Bonjour, j’ai un DM à rendre sur les nombres complexes et je bloque sur une question, j’espère que quelqu’un pourra m’aider.

Voilà la question :

Soit l’équation :
z^3 + (1-2i)z^2 - 3(1+i)z - 2 + 2i = 0

Déterminer la ou les éventuelle(s) solution(s) réelle(s) de cette équation.

Merci d’avances !

@floflowww , bonjour,

Une piste possible,

Par exemple, tu peux commencer par chercher s'il y a une solution réelle dite "évidente".
Traditionnellement, on teste $1, - 1, 2, - 2$

En testant ces 4 valeurs, tu dois trouver que $- 2$ est solution.

Tu peux donc mettre $(z + 2)$ en facteur dans le membre de gauche de l'équation.

L'équation peut s'écrire :
$z+2)(az^2+bz+c)=0$
Par identification , tu cherches $a, b, c$

Sauf erreur, tu dois obtenir $a = 1, b = - 1 - 2 i, c = - 1 + i$

En résolvant ensuite $az^2+bz+c=0$ , tu ne dois pas trouver de solutions réelles, donc $- 2$ est la seule réelle.

Autre façon possible,

Tu peux chercher les solutions évidentes" (réelles ou non) et tu trouveras $i$ et $- 2$ .

Tu peux donc mettre $(z - i) (z + 2)$ en facteur
Ainsi, l'équation s'écrit :
$(z - i) (z + 2) (a z + b) = 0$
Par identification, tu trouves $a$ et $b$ et en résolvant $a z + b = 0$ , la solution obtenue ne doit pas être réelle.

Bons calculs !

@floflowww ,

Autre façon sans résoudre l'équation,

Soit $a$ une solution réelle éventuelle :

$a^3+(1+2i)a^2-3(1+i)a-2+2i=0$

en mettant le membre de gauche sous forme algébrique :

$a^3+a^2-3a-2)+i(-2a^2-3a+2)=0$

D'où le système :

${a3+a2−3a−2=0−2a2−3a+2=0\begin{cases}a^3+a^2-3a-2=0\cr -2a^2-3a+2=0\end{cases}$

En résolvant dans $R$ l'équation $2a^2-3a+2=0$ , tu dois trouver, sauf erreur :
$a = - 2$ ou $a=12a=\dfrac{1}{2}$

En substituant dans la première équation, tu dois trouver que $a = - 2$ convient et que $a=12a=\dfrac{1}{2}$ ne convient pas.

Conclusion :
$- 2$ est donc la seule solution réelle de l'équation.

Je pense que c'est plutôt cette méthode qui est attendue dans ton DM.
A toi de voir, bien sûr.