exercice de mathématiques : les matrices

Bonjour, j'ai un exercice de mathématiques à faire mais je n'y arrive pas. Voici l'énoncé :
On considère les matrices A ( 0,2 0,1) et B (0,2)
______________________________( 0,2 0,3) _____(0,1)

On définit la suite matrices colonnes (Un) par la relation U(n+1) = AUn + B, pour tout entier naturel n et par son premier terme U0 = (0,1)
__________________________________________________(0,2)

1- Déterminer la matrice colonne telle que C = AC +B

2- On pose pour tout entier n, Vn = Un-C
a) Démontrer que pour tout n appartient à l'entier naturel, Vn+1 = AVn
b) En déduire par un raisonnement par récurrence que Vn= A^nV0 pour tout entier n.

J'ai commencé et j'ai trouvé pour la première question la matrice colonne C : (3 6) (en verticale)
Ai-je bon ?

Merci d'avance

@pauline888 , bonjour,

Piste pour démarrer,

Soit $0.3)A=\begin{pmatrix}0.2\ \ \ 0.1\cr 0.2 \ \ _ \ 0.3\end{pmatrix}$
Soir $C=(xy)C=\begin{pmatrix}x\cr y\end{pmatrix}$
Si tu fais la multiplication (méthode usuelle) , tu dois trouver , sauf erreur :
$AC=(0.2x+0.1y0.2x+0.3y)AC=\begin{pmatrix}0.2x+0.1y\cr 0.2x+0.3y \end{pmatrix}$
donc
$AC+B=(0.2x+0.1y+0.20.2x+0.3y+0.1)AC+B=\begin{pmatrix}0.2x+0.1y+0.2\cr 0.2x+0.3y+0.1 \end{pmatrix}$

$A C + B = C$ <=> ${0.2x+0.1y+0.2=x0.2x+0.3y+0.1=y\begin{cases} 0.2x+0.1y+0.2=x \cr 0.2x+0.3y+0.1=y \end{cases}$

Tu as un système de 2 équations à 2 inconnues $x$ et $y$ à résoudre.

Sauf erreur : $x=518x=\dfrac{5}{18}$ et $y=29y=\dfrac{2}{9}$

Vérifie tout ça (vu que tu ne trouves pas pareil, donne tes calculs si tu le souhaites) et essaye de poursuivre.

J'ai aussi fait le système à deux équation mais par exemple sur la première ligne on ne passe pas x de l'autre coté pour avoir x/x = 1 ?

@pauline888 Bonjour,

Pour $0, 2 x + 0, 1 y + 0, 2 = x$ cela donne
$0, 2 x - x + 0, 1 y + 0, 2 = 0$
soit
$- 0, 8 x + 0, 1 y = - 0, 2$

@pauline888 ,

Et pour la seconde équation, en transposant $y$ dans le membre de gauche, , tu dois obtenir
$0.2 x - 0.7 y + 0.1 = 0$ c'est à dire $0.2 x - 0.7 y = - 0.1$

Ah oui mince, merci beaucoup !
J'ai réussi la question a), mais pour la b) vous pensez que je dois utilisé : Vn = Un-C pour l'initialisation ?

@pauline888

Pour le raisonnement par récurrence, pour l'initialisation vérifie la relation pour $n = 1$ .

On écrit seulement que c'est vrai car V1 = A^1 *V0 ?

@pauline888

Tu écris les calculs qui vérifient cette égalité.

J'ai d'abord calculé U1 = (0,24 0,18) en verticale
puis calculer V1 = U1 - C = (-17/450 -19/450) en verticale
Je retire A du résultat ce qui donne A^1(-107/450 -2/9) en verticale

@pauline888

Le résultat pour $V_1$ est correct.
calcule $V_0$ puis vérifie que $V_1=AV_0$ .

Bonjour,

@pauline888 ,

Tu peux faire les calculs numériques comme te l'indique Noemi pour prouver que $V_1=AV_0$

Autre façon logique (que tu pourras utiliser aussi pour l'hérédité) sans calculs numériques :
$V_1=U_1-C=(AU_0+B)-C=AU_0+B-C$
$V_1=A(V_0+C)+B-C=AV_0+AC+B-C$
Vu que $A C + B = C$ , tu simplifies et tu trouves la réponse attendue.

Tu as le choix.

Merci beaucoup pour vos aides !!

De rien @pauline888 .
Nous faisons au mieux.