Nombres premiers ( produit )

Salut et merci d'avance
Soit Pn le nième nombre premier .Prouver que
Pn 《 P1 .P2. ....Pn-1 + 1
J'ai essayé par l'absurde mais ça n'a pas marché

@galois Bonsoir,

As-tu essayé une démonstration par récurrence ?

@Noemi salut oui j'ai essayé vu l'existence d'une infinité de nombres premiers mais j'ai pas pu terminé

Bonjour,

@galois , si tu aimes les raisonnements logiques directs, tu peux en faire un, sans utiliser de récurrence.

Une piste possible,

Soit $n=p_1p_2...p_{n-1}+1$

Nécessairement, $n≥2n\ge 2$ donc $n$ admet au moins un diviseur premier $q$

Aucun nombre de la liste $p_1,p_2,...,p_{n-1}$ ne peut être diviseur de $n$ car le reste de la division de $n$ par un de ces nombres vaut $1$

Donc $q>pn−1q\gt p_{n-1}$ donc $q$ est de la forme $p_{n-1+k}$ avec $k≥1k\ge 1$ . En particulier, pour $k = 1$ , $q=p_n$ donc $p_n$ est un diviseur premier de $n$

Tout diviseur premier de $n$ est inférieur ou égal à $n$ donc :
$pn≤np_n\le n$
donc : $pn≤p1p2...pn−1+1\boxed{p_n\le p_1p_2...p_{n-1}+1}$

Bonne réflexion.

@mtschoon merci vivement et j'ai essayé de nouveau par l'absurde et ça marche aussi

De rien @galois
C'est très bien si tu as plusieurs démonstrations pour répondre à ta question.
Bon travail !