Congruences et critères de divisibilité

Bonsoir,
J'aurais besoin que quelqu'un vérifie cet exercice si cela est possible (présentation, résultats, suggestions, conseils) !
Un grand merci d'avance

Soit abc un entier naturel écrit en base 10,
c'est-à-dire abc = a x 10'2 + b x 10+ c.

a. Démontrer que abc = a + b + c[3].

10'2 = 3x33 + 1
Donc 10'2 congru à 1 modulo 3

10 = 3x3 +1
Donc 10 congru à 1 modulo 3

Et 10'1 = 1 = 3x0 +1
Donc 10'1 congru à 1modulo 3

Donc abc congru à : a x 1 [3] + b x 1 [3] + c x 1 [3]
Équivaut à : a + b + c [3]

b. Donner une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par 3 de abc.

Deux idées : sommes des chiffres égale à 3
Ou une solution liée au fait que les nombres multipliant a, b et c sont tous congrus à 1 modulo 3.

Généralisation : Soit A un entier naturel. On note ao ; ...; an les entiers compris entre 0 et 9, an 0, tels que A = an an-1 an-2...a1 a0 (se sont des indices) Exprimer l'entier A en fonction de ao ; ...; an et
des puissances de 10.

A = a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 (indices)

b. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de 10" par 3.
On utilise les propriétés des congruences :
10'n congru à 1 modulo 3

c. Quelle est la condition nécessaire et suffisante de divisibilité par 3?

La somme des chiffres est un multiple de 3 (10'n toujours multiple de 3)

Bonne soirée à vous et merci !

@lysecht Bonjour,

Juste une remarque :
La partie 1 b) est à revoir et la partie 2 manque de rigueur.

@Noemi
Bonjour, merci à vous
Que pourrais-je faire pour améliorer la deuxième partie ?
Merci d'avance

@lysecht

Vérifie ce que tu as écris.
a) $A$ est à exprimer avec des puissances de $10$ .
b) Il manque la condition sur $n$ .
c) "( $10^n$ toujours multiple de 3)" !!

Bonjour,

@lysecht , je regarde un peu ton travail.

Comme déjà indiqué la partie 1)b) est à revoir.
Tes deux idées proposées ne sont pas bonnes.

Piste pour la 1)b),

Pour éviter des confusions, je note $abc10‾\overline{abc_{10}}$ le nombre $a b c$ écrit en base $10$

D'après la question 1)a) , tu as démontré que :
$[3]\boxed{\overline{abc_{10} } \equiv a+b+c\ [3]}$

Conséquence :

$abc10‾\overline{abc_{10} }$ divisible par 3 <=> $[3]\overline{abc_{10}} \equiv 0\ [3]$

$[3]\overline{abc_{10}} \equiv 0\ [3]$ <=> $[3]\boxed{a+b+c \equiv 0\ [3]}$

Conclusion :
Une C.N.S pour que $abc10‾\overline{abc_{10}}$ soit divisible par 3 est que la somme $a + b + c$ soit divisible par 3 (c'est à dire que la somme $a + b + c$ soit multiple de 3)

Pour la 2), vois avec Noemi qui a déjà commencé à répondre.

@Noemi
Bonsoir, merci pour vos commentaires.
Pour le 2.a j'ai corrigé ainsi :

A= 10'n 10'n-1 10'n-2.... 10'1 10'0

Bonne soirée à vous,

Bonjour,

Plus d'énoncé ! ! ! ! ! !

Bonjour @Noemi ,

Je viens de voir que c'est toi qui a remis l'énoncé à sa place (vu que @Casebas ne semble pas avoir passé ce jour).

C'est très bien. Evidemment, cet énoncé n'étant pas "bloqué", il ne reste plus qu'à espérer qu'il ne va pas être à nouveau effacé...

Bonne journée à toi.