triangle équilatéral

Bonjour pourriez vous m'aider à cette exo :
ABC est un triangle équilatéral de côté a.Les points P,Q et R sont situés respectivement sur [AB],[BC] et [CA] tels que AP=BQ=CR=a/3
1)Calculer AB. AR (vecteurs) puis AB.(AR-AP)
Pour AB . AR j 'ai trouvée a²/3 pour le reste de la question je n'en suis pas sur
2)En déduire la nature du triangle APR
je sais qu'il faut déterminer que les vecteurs sont orthogonaux mais je ne vois pas comment ( realtion de chasles ?)
3) Déterminer de même la nature des triangles BQP et CRQ, puis celle de PQR.
tout ocmme pour la question 2 je ne comprends pas trop.
Merci de m'aider ,

@xBlondaEx-Msp Bonjour,

Le premier résultat est correct.
Calcule $AB→.AP→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AP}$ .
Puis
$AB→.(AR→−AP→)\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP})$

Bonjour,

@xBlondaEx-Msp,
Je pense que pour calculer $AB→.AR→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AR}$ tu as utilisé la défintion $AB×AR×cosπ3AB\times AR\times cos\dfrac{\pi}{3}$ ce qui t'a donné $a23\dfrac{a^2}{3}$ (je ne vois pas d'autre solution, vu que tu ne travailles pas dans un repère orthonormé du plan)

Quelques pistes pour poursuivre,

Pense à développer :
$AB→.(AR→−AP→)=AB→.AR→−AB→.AP→\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AP}$

Il te faut calculer $AB→.AP→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AP}$
Vu que les vecteurs $AB→\overrightarrow{AB}$ et $AP→\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires et de même sens :
$AB→.AP→=AB×AP\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AP}=AB\times AP$
Après calcul, tu dois trouver $a23\dfrac{a^2}{3}$
D'où :
$AB→.(AR→−AP→)=0\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP})=0$

Pense à transformer $AR→−AP→\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}$ en $PR→\overrightarrow{PR}$ avec la relation de Chasles et tu constateras que tu obtiens ainsi la réponse que tu cherchais pour la question 2)

Reposte si besoin.

@Noemi a dit dans triangle équilatéral :

AB.(AR−AP)
je sais pas qi c'est comme ca mais perso je trouve comme résultat 2a/3-a²/3

@xBlondaEx-Msp ,

Revois ton calcul.

$AB→.AP→=AB×AP\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AP}=AB\times AP$

$A B = a$
$AP=a3AP=\dfrac{a}{3}$

$AB→.AP→=a×a3=a23\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AP}=a\times \dfrac{a}{3}=\dfrac{a^2}{3}$

par rapport aussi à la relation de chasles normalement on l'a déja utiliser dans AB.(AR−AP) oui j'ai trouver 0 mais je fais comment pour y introduire le PR je sais que AR- AP =-PA-AR=PR

@xBlondaEx-Msp

$AR→−AP→=AR→+PA→\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{PA}$
Si tu préfères :
$AR→−AP→=PA→+AR→=PR→\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{PR}$

Vu que $AB→.(AR→−AP→)=0\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP})=0$ , dans cette formule, tu remplaces $AR→−AP→\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}$ par $PR→\overrightarrow{PR}$ et tu obtiens ce qu'il faut.

j'ai trouvé que PR faisait -a+2/3 en faisant PR=PA+AR

je me suis trompée c'est =−2/3−a/3

@xBlondaEx-Msp , tu n'as pas à calculer $PR→\overrightarrow{PR}$ .

Relis mon précédent post.

@mtschoon a dit dans triangle équilatéral :

@xBlondaEx-Msp

$AR→−AP→=AR→+PA→\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{PA}$
Si tu préfères :
$AR→−AP→=PA→+AR→=PR→\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{PR}$

Vu que $AB→.(AR→−AP→)=0\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP})=0$ , dans cette formule, tu remplaces $AR→−AP→\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}$ par $PR→\overrightarrow{PR}$ et tu obtiens ce qu'il faut.

Donc , $AB→.PR→=0\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{PR}=0}$

merci d'accord et pour la troisième question c'st le même procédure ?

@xBlondaEx-Msp Bonsoir,

Pour les triangles $B Q P$ et $C R Q$ , c'est le même raisonnement.
Pour le triangle $P Q R$ , si tu as fait une figure tu peux en déduire la nature du triangle. Nature qu'il faut démontrer.

Bonsoir,

@xBlondaEx-Msp ,comme te le dit Noemi, pour les triangles $B Q P$ et $C R Q$ c'est la même démarche que pour le triangle $A P R$

Tu as ainsi 3 triangles rectangles.
Dans chacun de ces trois triangles, tu pourras donc utiliser le théorème de Pythagore pour trouver les valeurs de $P R, P Q, Q R$ .
Tu peux aussi utiliser la trigonométrie ou parler de triangles isométriques (si tu connais) , et tirer une conclusion sur la nature du triangle $P Q R$ .

Tu as le choix!

Bon calcul.

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@mtschoon mercci beaucoup de votre aide et je vais essayer cela

@mt schoon en faisant les calculs avec le théorème de pythagore du triangle BQP voila mon calcul:
BP²=BQ²+QP²
(2/3)²=(a/3)²+QP²
QP²=4/9-a²/9
après ca je ne vois pas comment je pourrais soutraire ces deux fractions

@xBlondaEx-Msp

Tu as oublié $a$ dans $B P$
$\dfrac{2a}{3}$ .

Tu aurais pu aussi utiliser la trigonométrie pour calculer $Q P$ .
$Q P = P B s i n 60 °$

par rapport à la triognémétrie est ce que le résultat de (√3/3) est il bon ou pas ?

@xBlondaEx-Msp

$Q P = P B s i n 60 °$
$\dfrac{2a}{3}\times \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{3}a$

Tu peux vérifier avec Pythagore.

@Noemi merci beaucoup de votre aide oui j'ai trouvé ca aavec pythagore

@xBlondaEx-Msp

C'est parfait.

@Noemi je vous remercie beaucoup et j'ai enfin fini je vous souhaites une bonne journée