Dm aires entre deux courbes

bonjour,
j'ai besoin d'aide , j'ai réussi la première question mais j'ai besoin pour la suite.
On a tracé sur le graphique ci-dessous Cf et Cg, les courbes représentatives de f et de g deux fonctions définies sur [-3;3] par :
f(x)=-x**3+4x+4 et g(x)=-x²+8
A et B sont les sommets de Cf
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dresser le tableau de variation de f
déterminer les valeurs exactes des abscisses A et B
dresser le tableau de signe de f(x) selon les valeurs de x
soit F une primitive de f sur l'intervalle [-3;3]. Déterminer et justifier sans cacul, les variation de F.
5a) Justifier que Cf et Cg se coupent aux points d'abscisses en -2 et 1.
5b) Déterminer l'aire A du domaine hachuré, en unité d'aire.
5c)Vérifier votre résultat à la calculatrice
5d) Sachant qu'une unité vaut 1.5cm sur l'axe des abscisses et 0.75 cm sur l'axe des ordonnées, déterminer A en cm²

@Agnès-quintil, bonjour,

Pour la question 2), vu que tu as étudié les variations de $f$ , tu as forcément les sommets de $C_f$
Ce que l'énoncé appelle "sommets" sont les deux extréma sur {-3,3)
Les abscisses des sommets doivent être $−233-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ et $233\dfrac{2\sqrt 3}{3}$

Désolée, je viens de voir que c'est la question 5)a) que je t'ai détaillée (car étant utile au calcul d'aire, j'ai pensé que c'était là ta difficulté , sans regarder les questions...)

Je ne le supprime pas , car ça pourra toujours te servir.

Question 5)a)

$f (x) = g (x)$ <=> $x^3+4x+4=-x^2+8$

En transposant et simplifiant, cela équivaut à :
$x^3+x^2+4x-4=0$

Solution "évidente" $x = 1$ car $- 1 + 1 + 4 - 4 = 0$

On peut donc mettre $(x - 1)$ en facteur :
$x-1)(ax^2+bx+c)=0$

Par identification, tu trouves $a, b, c$ tels que, pour tout $x$ réel $x^3+x^2+4x-4=(x-1)(ax^2+bx+c)$

Sauf erreur, après calculs,
$x^3+x^2+4x-4=(x-1)(-x^2+4)$

$x^3+x^2+4x-4=(x-1)(2-x)(2+x)$

d'où :
$x^3+x^2+4x-4=0$ <=> $x = 1$ ou $x = - 2$ ou $x = 2$

merci pour votre aide à la question 2 . Je n'arrive pas à la question 3 car on nous demande de dresser le tableau de signe selon les valeurs de x

@Agnès-quintil pour la question 3),

Avec le tableau de variation de $f$ , tu as dû trouver que sur $[−3,233][-3,\dfrac{2\sqrt3}{3}]$ , $f(x)>0f(x)\gt 0$

Par contre sur, $[233,3][\dfrac{2\sqrt3}{3},3]$ , $f (x)$ passe d'une valeur positive pour $x=233x=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ jusqu'à une valeur négative pour $x = 3$

Sur cette intervalle, vu que que tu ne peux pas trouver la valeur exacte qui annule $f (x)$ , utilise le Théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence d'une valeur $α\alpha$ telle que $f(α)=0f(\alpha)=0$

Tu pourras donner éventuellement une valeur approchée de $α\alpha$
$α≈2.4\alpha\approx 2.4$

Ainsi
Sur $[−3,α[[-3,\alpha[$ : $\gt 0$
Pour $x=αx=\alpha$ : $f (x) = 0$
Sur $]α,3]]\alpha,3]$ : $f(x)<0f(x)\lt 0$

Tu disposes ces résultats en tableau comme te le demande l'énoncé.

merci pour votre aide

Pour la question 3) j'ai trouver F(x)=-1/4x**4+2x²+4x mais je n'arrive pas à faire le tableau de variation

@Agnès-quintil , je pense que c'est de la question 4) dont tu parles.
"soit F une primitive de f sur l'intervalle [-3;3]. Déterminer et justifier sans cacul, les variation de F".

Apparemment, dans cette question tu n'as pas à calculer une primitive. Elle est seulement nommée $F$ (c'est à la question 5)b) qu'il faudra calculer les primitives).

Regarde ton cours et fait le lien entre primitive, intégrale et aire algébrique "sous la courbe"(plus précisément entre la courbe et l'axe des abscisses).

Pour $x$ variant de $- 3$ à $α\alpha$ , cette aire algébrique augmente car la courbe est au dessus de l'axe des abscisses : à partir de $α\alpha$ , elle diminue par la courbe passe en dessous de l'axe des abscisses.

j'ai regardé et je ne voit pas de lien

on sait que x est positive sur [-3; 2.4] car la courbe Cf est au dessus de l'axe des abscisse donc F est positif donc croissante. Et sur [2.4;3] , x est négative donc la courbe Cf est en dessous de l'axe des abscisses donc F est négative donc décroissante .

@Agnès-quintil ,

Attention. Tu confonds $x$ et $f (x)$

Pour faire court , soit $F$ la primitive de $f$ qui s'annule pour $x = - 3$

$F(x)=∫−3xf(t)dtF(x)=\int_{-3}^x f(t)dt$

Graphiquement cette intégrale (qui vaut $F (x)$ ) , en unités d'aire , représente l'aire "algébrique" (c'est à dire positive ou négative) de la zone comprise entre la courbe et l'axe des abscisses , les abscisses variant entre $- 3$ et $x$ .

Lorsque $x$ varie de $- 3$ à $α\alpha$ , cette aire est positive (car $f (x)$ est positive) et prend des valeurs qui augmentent mais à partir de $α\alpha$ elle diminue car f(x) prend des valeurs négatives.

Ce n'est pas simple à expliquer ...

Je te mets un lien qui va peut-êtyer t'éclairer.
https://mathscolbert.pagesperso-orange.fr/taleS/Cours/ch8/integrales.pdf

comment ça se fait que F s'annule en -3

@Agnès-quintil

@Agnès-quintil a dit dans Dm aires entre deux courbes :

comment ça se fait que F s'annule en -3

Ceci est seulement un cas !

Une fonction $f$ a une infinité de primitives ( pense à la constante).

Vu que tu dis que tu n'as rien sur ce sujet dans ton cours (ce qui est surprenant, vu l'énoncé proposé) , pour "tenter" de te faire comprendre le lien entre Primitive, Intégrale et aire, j'ai choisi le cas simple de la primitive de $f$ qui s'annule au début de l'intervalle d'étude, c'est à dire pour $- 3$ .

$∫−3xf(t)dt=[F(t)]−3x=F(x)−F(−3)=F(x)−0=F(x)\int_{-3}^xf(t)dt=\biggr[F(t)\biggr]_{-3}^x=F(x)-F(-3)=F(x)-0=F(x)$

car j'aurai dit que de [-3;-2.4] , F(x) serait décroissant car x est dans le négatif . Sur [-2.4;2.4], F(x) serait croissant car x dans le positif et sur [2.4;3] , F(x) serait décroissant car x est dans le négatif

@Agnès-quintil ,

Ce n'est pas le signe de $x$ qui compte, c'est le signe de $f (x)$

donc vu que f(x) est positif sur [-3;2.4] donc F(x) est croissant ou non

Ce message a été supprimé !

@Agnès-quintil ,

$F$ est croissante quand $x$ varie de -3 à $α\alpha$ et $F$ est décroissante quand $x$ varie de $α\alpha$ à $3$

ah ok . Merci pour votre aide

j'ai réussi la question 5b) mais je n'arrive pas à la question 5d)

@Agnès-quintil ,

L'unité d'aire $(U A)$ sur un graphique est déterminée par le rectangle unitaire formé sur les axes.

Si sur l'axe des abscisses $1$ correspond à $1.5 c m$ et si sur l'axe des ordonnées $1$ correspond à $0.75 c m$ :
$(1.5\times 0.75) cm²=1.125\ cm²$
donc l'aire $A$ (en unités d'aire) vaudra $(A×1.125)cm2(A\times 1.125) cm^2$

bonjour,
merci pour votre aide

De rien @Agnès-quintil , et bon DM.