4. Résolution inequation

Résolution inequation

  • A

    Bonjour !
    Je ne parviens pas à résoudre cette inequation :
    500×1,02n−1>500+100(n−1)500\times1,02^{n-1}\gt500+100(n-1)500×1,02n−1>500+100(n−1)

    Help !

    Inéquation écrite en latex par la modération du forum.

    N 1 réponse
  • B

    Bonjour,

    Une manière parmi d'autres.

    S'il s'agit de 5001,02n−15001,02^{n-1}5001,02n−1 > 500+100(n−1)500 + 100(n-1)500+100(n−1)

    5001,02n−1−500−100(n−1)5001,02^{n-1} - 500 - 100(n-1)5001,02n−1−500−100(n−1) > 0 (avec n dans Z, dans N ou quoi d'autre ???)

    Etudier les variations de f(x)=5001,02x−1−500−100(x−1)f(x) = 5001,02^{x-1} - 500 - 100(x-1)f(x)=5001,02x−1−500−100(x−1)

    f′(x)=ln(5001,02).5001,02x−100f'(x) = ln(5001,02) . 5001,02^{x} - 100f′(x)=ln(5001,02).5001,02x−100
    f′(x)≃0,00170313.5001,02x−100f'(x) \simeq 0,00170313.5001,02^{x} - 100f′(x)≃0,00170313.5001,02x−100

    f'(x) < 0 pour $x < 1,28917... --> f est décroissante
    f'(x) = 0 pour x≃1,28917...x \simeq 1,28917...x≃1,28917...
    f'(x) > 0 pour $x > 1,28917... --> f est croissante

    f est min pour x≃1,28917...x \simeq 1,28917... x≃1,28917... et f(1,28917...) < 0
    f(-4) = 5001,02^-5 > 0
    f(−3)≃−100f(-3) \simeq -100 f(−3)≃−100 < 0
    f(1)≃−499f(1) \simeq -499 f(1)≃−499 < 0
    f(2)≃4001f(2) \simeq 4001 f(2)≃4001 > 0

    Et donc si n est dans Z, on a : 5001,02n−1−500−100(n−1)5001,02^{n-1} - 500 - 100(n-1)5001,02n−1−500−100(n−1) > 0 pour n dans ]-oo ; -4] U [2 ; +oo[

    Et si n est dans N, on a : 5001,02^{n-1} - 500 - 100(n-1) > 0 pour n dans [2 ; +oo[

    Rien vérifié, à toi de comprendre et corriger au besoin.

    A 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    @Abab a posté en Troisième (collège).

    Bizarre...

    S'est-il trompé de rubrique ?

    C'est seulement en Terminale (programme français) qu'on sait étudier les fonctions avec exponentielle, logarithme...

    @Abab devra préciser (et éventuellement changer de rubrique).

  • N
    Modérateurs

    @Abab Bonjour,

    Commence par simplifier l'inéquation en divisant par 500, puis en simplifiant et analysant le terme de droite.

    Précise aussi ta classe.

    A 1 réponse
  • A

    @Noemi Bonjour je ne vois pas que mon sujet s'affiche en 3eme. J'avais choisi de le publier dans la catégorie inéquations.... Je suis en Terminale....
    Comment faire pour le classer correctement ?
    .... et je n'ai toujours pas réussi à le résoudre.....

  • A

    @Black-Jack
    Bonjour et merci Black Jack. Mais ce n'est pas 5001.02^(n-1) mais 500 x 1,02^(n-1).
    Est ce que la dérivée de ce terme est alors 500 x ln 1.02 x 1.02^n ?
    Merci d'avance

    B 1 réponse
  • B

    @Abab a dit dans Résolution inequation :

    @Black-Jack
    Bonjour et merci Black Jack. Mais ce n'est pas 5001.02^(n-1) mais 500 x 1,02^(n-1).
    Est ce que la dérivée de ce terme est alors 500 x ln 1.02 x 1.02^n ?
    Merci d'avance

    Bonjour,

    Avec l'énoncé ainsi modifié ...

    500 * 1,02^(n-1) > 500 + 100(n+1)

    500 * 1,02^(n-1) - 500 - 100(n+1) > 0

    500 * 1,02^(n-1) - 600 - 100n > 0

    5 * 1,02^(n-1) - 6 - n > 0

    On peut étudier les variations de f(x) = 5 * 1,02^(x-1) - 6 - x

    Si le "n" de l'inéquation est un nombre entier naturel, on peut limiter l'étude des variations de f(x) pour x >= 0

    ...

    f'(x) = 5*ln(1,02) * 1,02^(x-1) - 1

    ... f a un minimum en x = 1 - (ln(5*ln(1,02) / ln(1,02)) (x = environ 117,7...)
    et ce max est < 0

    f est décroissante pour x dans ]-oo ; 117,7...[ (ou sur [0 ; ...] si n est un entier naturel.
    f est croissante pour x > 11,7...

    ...

  • mtschoon

    Bonjour,

    @Black-Jack a dit dans Résolution inequation :

    Avec l'énoncé ainsi modifié ...

    500 * 1,02^(n-1) > 500 + 100(n+1)

    500 * 1,02^(n-1) - 500 - 100(n+1) > 0

    500 * 1,02^(n-1) - 600 - 100n > 0

    5 * 1,02^(n-1) - 6 - n > 0

    On peut étudier les variations de f(x) = 5 * 1,02^(x-1) - 6 - x

    Si le "n" de l'inéquation est un nombre entier naturel, on peut limiter l'étude des variations de f(x) pour x >= 0

    ...

    f'(x) = 5*ln(1,02) * 1,02^(x-1) - 1

    ... f a un minimum en x = 1 - (ln(5*ln(1,02) / ln(1,02)) (x = environ 117,7...)
    et ce max est < 0

    f est décroissante pour x dans ]-oo ; 117,7...[ (ou sur [0 ; ...] si n est un entier naturel.
    f est croissante pour x > 11,7...

    ...

    Je crois voir une erreur de recopie de l'énoncé dans ta seconde réponse @Black-Jack
    Ce n'est pas 500 * 1,02^(n-1) > 500 + 100(n+1) mais
    500×1,02n−1>500+100(n−1)500\times 1,02^{n-1} \gt 500 + 100(n-1)500×1,02n−1>500+100(n−1)

    ça change f(x)f(x)f(x) donc le résultat de l'inéquation, mais pas f′(x)f'(x)f′(x).

    B 1 réponse
  • B

    @mtschoon a dit dans Résolution inequation :

    Bonjour,

    @Black-Jack a dit dans Résolution inequation :

    Avec l'énoncé ainsi modifié ...

    500 * 1,02^(n-1) > 500 + 100(n+1)

    500 * 1,02^(n-1) - 500 - 100(n+1) > 0

    500 * 1,02^(n-1) - 600 - 100n > 0

    5 * 1,02^(n-1) - 6 - n > 0

    On peut étudier les variations de f(x) = 5 * 1,02^(x-1) - 6 - x

    Si le "n" de l'inéquation est un nombre entier naturel, on peut limiter l'étude des variations de f(x) pour x >= 0

    ...

    f'(x) = 5*ln(1,02) * 1,02^(x-1) - 1

    ... f a un minimum en x = 1 - (ln(5*ln(1,02) / ln(1,02)) (x = environ 117,7...)
    et ce max est < 0

    f est décroissante pour x dans ]-oo ; 117,7...[ (ou sur [0 ; ...] si n est un entier naturel.
    f est croissante pour x > 11,7...

    ...

    Je crois voir une erreur de recopie de l'énoncé dans ta seconde réponse @Black-Jack
    Ce n'est pas 500 * 1,02^(n-1) > 500 + 100(n+1) mais
    500×1,02n−1>500+100(n−1)500\times 1,02^{n-1} \gt 500 + 100(n-1)500×1,02n−1>500+100(n−1)

    ça change f(x)f(x)f(x) donc le résultat de l'inéquation, mais pas f′(x)f'(x)f′(x).

    Bonjour,

    Exact, distraction.

    Abab a cependant assez d'info pour mener à bien la rasolution.

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