Preuve concernant la relation suite/sous-suite

Bonjour, je me permets de venir écrire sur ce forum afin d'obtenir une quelconque aide, ou indication pour effectuer la démonstration du fait suivant :
Soit $x_n)$ une suite réelle, $x'_n)$ une de ses sous-suites et $f$ une fonction continue. Il faut simplement montrer que $f(x'_n)$ est une sous-suite de $f(x_n)$ . La preuve , présente dans mon syllabus d'analyse, est bien évidemment "laissée au lecteur" . Sauf que je n'arrive pas à écrire de fonction extractrice $ϕ′\phi '$ strictement croissante qui sélectionne les éléments de $f(x'_n)$ .
N'hésitez pas à me dire si des points sont à clarifier, et merci d'avance pour vos réponses
Respectueusement,
Phantum