Développement limité d'une fonction

[kadforu]

Bonjour,
Développement limité de e^x:
e^x=1+x+x²/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4)
D'après la théorie, e^x est négligeable devant le reste o(x^4)
c'est à dire: lim(((e^x)/x^4) pour x---->0)=0
Numériquement: par exemple:
Pour x=10^-4:
e^x=1,0001000050002
x^4=10^-16
Je remarque que x^4 est négligeable devant e^x et pas le contraire.
A moins que je n'ai pas compris la théorie:< e^x est négligeable devant le reste o(x^4) >

Merci d'avance.

[Noemi]

@kadforu Bonjour,

Un lien : https://www.methodemaths.fr/developpements_limites/

[kadforu]

Dans le lien ci-dessus, lim((f(x)/g(x) x---->a)=0
Dans l'exemple que j'ai donné: e^x=1+x+x²/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4)
quelle est la fonction f et quelle est la fonction g ?
Ou peut être ma question n'a aucun sens, c'est comme ça et c'est tout.

[mtschoon]

Bonsoir,

@kadforu

Tu as d'abord écrit "D'après la théorie, $e^x$ est négligeable devant le reste $o(x^4)$" : c'est inexact, comme tu l'as indiqué. Mais, de plus, ce n'est pas la comparaison de $e^x$ et de $x^4$ dont il s'agit.

J'utilise le développement de $e^x$ ( au voisinage de 0 )

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+[\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+...]$

Soir $R(x)$la quantité entre crochets (reste du DL d'ordre $4$ de $e^x$)

$R(x)=[\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+...]$

$R(x)$ est négligable devant $x^4$

On écrit $R(x)=o(x^4)$

ce qui veut dire que : $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{R(x)}{x^4}=0$

Reposte si ce n'est pas clair.

[kadforu]

Merci pour ta réponse, c'est clair et net.
La plupart des auteurs ne précisent pas ce qui est f(x) et g(x).

[mtschoon]

De rien @kadforu ,

$f(x)=R(x)$ et $g(x)=x^4$ dans la définition $f(x)=o(g(x))$

C'est parfait si maintenant c'est clair pour toi.