Exercice: Application du produit scalaire

Bonjour, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît à cet exercice :

Cercle d'Apollonius:
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(−2;1) et B(2;5). On cherche à déterminer le lieu L des points M distincts de B tels que MA / MB=3.

Partie A :

Montrer que M∈L si et seulement si (MA−3MB)⋅(MA+3MB)=0.
Pour la question 1 par exemple je n'ai pas compris, est-ce que montrer que M appartient à L revient à transformer (MA−3MB)⋅(MA+3MB)=0 en MA / MB=3
Trouvons deux points particuliers. a. Quelles sont les coordonnées du point I défini par IA−3IB=0 ?
b. Même question pour le point J défini par JA+3JB=0.
En déduire que M∈L si et seulement si MI⋅MJ=0.
Déterminer L et le construire.
Partie B : Dans cette partie, on note (x;y) les coordonnées du point M.
Écrire les longueurs MA et MB en fonction de x et de y.
Justifier que M∈L si et seulement si x²+y²−5x−11y+32=0.
En déduire la nature du lieu L et ses éléments caractéristiques.
Merci d'avance

@Elène , bonjour,

Piste pour la question 1), avec ce que tu indiques.

Je pense que tu parles de vecteurs (?), vu le titre.

$(MA→−3MB→)⋅(MA→+3MB→)=0(\overrightarrow{MA}−3\overrightarrow{MB})⋅(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})=0$
Par identité remarquable , cela équivaut à $MA→2−9MB→2=0\overrightarrow{MA}^2−9\overrightarrow{MB}^2=0$
La carré d'un vecteur étant égal au carré de sa norme :
$MA^2-9MB^2=0$ <=> $MA^2=9MB^2$
Pour $M≠BM\ne B$ , cela équivaut à :
$MA2MB2=9\dfrac{MA^2}{MB^2}=9$ <=> $MAMB=3\dfrac{MA}{MB}=3$ <=> $M∈LM\in L$

@mtschoon Merci beaucoup, j'avais trouvé ça aussi mais je sais pas si ça suffit pour démontrer que M appartient à L.

@Elène a dit dans Exercice: Application du produit scalaire :

L des points M distincts de B tels que MA / MB=3.

Oui, vu la définition de L.

Il faut que tu rédiges bien avec des équivalences logiques.

$M∈LM\in L$ <=> $MAMB=3\dfrac{MA}{MB}=3$ <=> $(MA→−3MB→)(MA→+3MB→)=0(\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB})(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})=0$

D'accord, merci beaucoup !!
je pourrai revenir vers vous pour la question 2 ?

@Elène , suivant notre présence, moi ou un(e) autre aidant(e) te répondra.

a. Quelles sont les coordonnées du point I défini par IA−3IB=0
pour répondre à cette question je dois résoudre IA−3IB=0 ?

Bonjour,

B

A(-2;1)
B(2;5)
M(X;Y)

MA² = (X+2)²+(Y-1)²
MB² = (X-2)²+(Y-5)²

MA/MB = 3 --> MA²/MB² = 9
MA² = 9 MB²

(X+2)²+(Y-1)² = 9*[(X-2)²+(Y-5)²]

On développe et simplifie et on arrive à : X² + Y² - 5Y - 11Y + 32 = 0

Qui peut aussi s'écrire : $(X−2,5)2+(Y−5,5)2=(4,5)2(X-2,5)^2 + (Y-5,5)^2 =( \sqrt{4,5})^2$

Et donc ...

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@Black-Jack a dit dans Exercice: Application du produit scalaire :

(X−2,5)2+(Y−5,5)2=(4,5)2

Je dois résoudre cette équation pour trouver X et Y ?

Bonjour,

Pour la question 2) (en vecteurs ) partie A

Je lis dans l'énoncé :
a. Quelles sont les coordonnées du point I défini par IA−3IB=0 ?
b. Même question pour le point J défini par JA+3JB=0

Je pense que Black_Jack n'a pas vu cette question 2) de la partie A.
Tu pourras utiliser ses pistes pour la partie B.

Excusez-moi, je ne comprends pas ce qui vous fait dire ça.

@Elène ,

Je te démarre cette question 2) de la partie A
Soit $I (x, y)$
$IA→\overrightarrow{IA}$ a pour coordonnées $(- 2 - x, 1 - y)$
$IB→\overrightarrow{IB}$ a pour coordonnées $(2 - x, 5 - y)$

L'égalité $IA→−3IB→=0→\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ se décompose en égalité des abscisses et égalité des ordonnées :
$(- 2 - x) - 3 (2 - x) = 0$
$(1 - y) - 3 (5 - y) = 0$

La première égalité te donnera $x$ abscisse de $I$
La seconde égalité te donnera $y$ ordonnée de $I$

Tu pratiques pareil pour trouver les coordonnées de $J$

Merci beaucoup! pour X j'ai trouvé 4 et pour y j'ai trouvé 7 c'est bien ça ?

Oui @Elène , c'est bien ça.

Et pour J je trouve que x = 1 et y = 4 ?

C'est bon @Elène

Merci beaucoup!! et désolé du dérangement, est-ce que pour la question 3 je dois procéder de la même façon que pour la 1 ?

@Elène ,

Pour la 3) tu utilises la propriété caractéristique trouvée à la 1), dans laquelle tu transformes $MA→\overrightarrow{MA}$ et $MB→\overrightarrow{MB}$ avec la relation de Chasles (pour faire intervenir $I$ et $J$ )

Je n'ai pas compris à quoi correspond la caractéristique trouver à la question à 1 puisqu'on a juste démontré que le produit scalaire est égal à MA/MB = 3

@Elène Bonsoir,

Pour la question 3, utilise la relation de Chasles en introduisant les points $I$ et $J$ dans la relation de la question 1.

@mtschoon a dit dans Exercice: Application du produit scalaire :

(MA−3MB)(MA+3MB)

Vous parlez de cette relation ?

@Noemi Bonsoir, mais en quoi peut-on utiliser la relation de Charles? Je n'y vois vraiment aucun moyen et je ne comprend pas vraiment votre affirmation..

@Elène
A partir de la relation :
$(MA→−3MB→)⋅(MA→+3MB→)=0(\overrightarrow{MA}−3\overrightarrow{MB})⋅(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})=0$
$(MI→+IA→−3MI→−3IB→)⋅(MJ→+JA→+3MJ→+3JB→)=0(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow {IA}−3\overrightarrow{MI}-3\overrightarrow{IB})⋅(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{MJ}+3\overrightarrow{JB})=0$
Simplifie cette expression en utilisant la question 2.

@Noemi Et ces vecteurs on doit les remplacer par leurs coordonnées afin de simplifier?

@Marionitte

Non simplifie directement l'expression.

@Noemi Daccord mercii je vais essayer et je vous dirai si ce que j'obtiens convient

@Noemi Après avoir essayer de simplifier, j'ai obtenu une longue série de vecteurs mais après sa je suis bloquée, par exemple j'obtiens un moment MI×MJ mais que faire avec sa?

@Marionitte

Pour la question 3, tu dois démontrer que $MI→.MJ→=0\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MJ}=0$

La relation:
$(MI→+IA→−3MI→−3IB→)⋅(MJ→+JA→+3MJ→+3JB→)=0(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow {IA}−3\overrightarrow{MI}-3\overrightarrow{IB})⋅(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{MJ}+3\overrightarrow{JB})=0$
devient

$(MI→−3MI→)⋅(MJ→+3MJ→)=0(\overrightarrow{MI}−3\overrightarrow{MI})⋅(\overrightarrow{MJ}+3\overrightarrow{MJ})=0$
si tu simplifies
....

@Noemi Je suis vraiment vraiment désolé mais je ne comprend pas comment faite vous pour passer de (MI+IA-3MI-3IB)•(MJ+JA+3MJ+3JB) à cette petite expression que vous avez écrite?

@Marionitte

J'utilise les résultats de la question 2 :
$IA→−3IB→=0\overrightarrow {IA}-3\overrightarrow{IB}=0$ et
$JA→+3JB→=0\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=0$

@Noemi Ahhh je comprend merciii je vais réessayer cette fois ci

@Noemi Je simplifie et trouve sa:
MI×MJ+MI×3MJ-3MI×MJ-3MI×3MJ

Mais c'était justement la question que je vous ai posée tout à l'heure: MI×MJ? Comment le résoudre??

Re-bonsoir @Elène /@Marionitte

Il y a tout ce qu'il faut pour répondre à la 3)

@Noemi a dit dans Exercice: Application du produit scalaire :

Pour la question 3, tu dois démontrer que $MI→.MJ→=0\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MJ}=0$

La relation:
$(MI→+IA→−3MI→−3IB→)⋅(MJ→+JA→+3MJ→+3JB→)=0(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow {IA}−3\overrightarrow{MI}-3\overrightarrow{IB})⋅(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{MJ}+3\overrightarrow{JB})=0$
devient

$(MI→−3MI→)⋅(MJ→+3MJ→)=0(\overrightarrow{MI}−3\overrightarrow{MI})⋅(\overrightarrow{MJ}+3\overrightarrow{MJ})=0$

Je complète un peu :

$MI→−3MI→=−2MI→\overrightarrow{MI}-3\overrightarrow{MI}=-2\overrightarrow{MI}$
$MJ→+3MJ→=4MI→\overrightarrow{MJ}+3\overrightarrow{MJ}=4\overrightarrow{MI}$

DONC, la relation de la question 1) équivaut à :
$(−2MI→).(4MJ→)=0(-2\overrightarrow{MI}).(4\overrightarrow{MJ})=0$

A terminer pour trouver $MI→.MJ→=0\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MJ}=0$