ln(1+t) = environ t lorsque t est petit
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Céline Auré dernière édition par
Bonjour, je souhaiterai montrer que ln(1+t) est environ égale à t lorsque t est un petit nombre, et ce sans utiliser la série de Taylor mais plutôt en passant par la limite du taux d'accroissement càd la dérivée. Merci.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Céline-Auré, bonjour,
Tu peux utiliser la définition du nombre dérivé (voir le lien)
https://www.mathforu.com/premiere-s/fonctions-derivees-en-1ere-s/Soit ttt variable réelle.
Soit f(t)=ln(1+t)f(t)=ln(1+t)f(t)=ln(1+t) donc f(0)=ln(1)=0f(0)=ln(1)=0f(0)=ln(1)=0
f′(t)=11+tf'(t)=\dfrac{1}{1+t}f′(t)=1+t1 donc f′(0)=1f'(0)=1f′(0)=1Par définition du nombre dérivé en 0 :
limh→0f(0+h)−f(0)h=f′(0)\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=f'(0)h→0limhf(0+h)−f(0)=f′(0),
c'est à dire :
limh→0f(h)−f(0)h=f′(0)\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=f'(0)h→0limhf(h)−f(0)=f′(0),
c'est à dire :
limh→0ln(1+h)h=1\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{ln(1+h)}{h}=1h→0limhln(1+h)=1,Pour hhh voisin de 000, ln(1+h)∼hln(1+h)\sim hln(1+h)∼h
Change les notations comme tu le souhaites.
