Question de réflexion racine

besoin daide encore s'ils vous plait

si x= $5−27+3\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ quelle est la valeur de $7−35+2\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+2}$ en termes de x
merci bien

@loicstephan Bonsoir,

Multiplie numérateur et dénominateur de $x$ par $(7−3)(5+2)(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt5+2)$ et simplifie l'expression.

ok j'essaie

Bonjour,

Essaie d'abord par toi même avant de lire ce qui suit.

Alternative ... au cas où tu te perdrais dans d'autres façons de faire

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+2}$

$1f(x)=5+27−3\frac{1}{f(x)} = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$

$xf(x)=(5+2).(5−2)(7−3)(7+3)\frac{x}{f(x)} = \frac{(\sqrt{5}+2).(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}$

$xf(x)=14\frac{x}{f(x)} = \frac{1}{4}$

f(x) = 4x

@loicstephan justement je n'arrive pas a simplifier out ce que ca donne et retrouver soit x

@Black-Jack a dit dans Question de réflexion racine :

f(x)x=(7−3)(7+3)(5+2).(5−2)

je ne comprends pas cette relation si $f (x) = a + b$ , $x = a - b$ ??

@loicstephan

Il faut appliquer l'identité remarquable $a-b)(a+b)= a^2-b^2$
Exemple :
$(5−2)(5+2)=(5)2−22=5−4=1(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)= (\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$

Bonjour,

@loicstephan a dit dans Question de réflexion racine :

je ne comprends pas cette relation si $f (x) = a + b$ , $x = a - b$ ??

@loicstephan , tu ne sembles pas avoir vraiment compris les deux démarches (parfaitement exactes) qui t'ont été proposées...
Dans ces différentes démarches, le fond est le même c'est seulement la forme qui change...

J'ignore si ça te sera vraiment utile, mais je tente une autre façon (qui revient au même).

@loicstephan ,
L'expression de l'énoncé "en termes de x" est assez flou...
Tu peux comprendre que l'on cherche un nombre réel $k$ tel que $7−35+2\dfrac{\sqrt 7-\sqrt 3}{\sqrt 5 +2}$ peut s'écrire $k×xk\times x$ ,
c'est à dire :
$7−35+2=kx\dfrac{\sqrt 7-\sqrt 3}{\sqrt 5 +2}=kx$
c'est à dire :
$7−35+2=k(5−27+3)\boxed{\dfrac{\sqrt 7-\sqrt 3}{\sqrt 5 +2}=k\biggr(\dfrac{\sqrt 5-2}{\sqrt 7+\sqrt 3}\biggr)}$

Lorsque l'on a une égalité de la forme $A = k B$ (avec $B$ non nul), on peut écrire $k=ABk=\dfrac{A}{B}$

Tu fais pareil ici :
$k=7−35+25−27+3k=\dfrac{\dfrac{\sqrt 7-\sqrt 3}{\sqrt 5 +2}}{\dfrac{\sqrt 5-2}{\sqrt 7+\sqrt 3}}$

Lorsqu'on divise une fraction par une autre fraction, on peut multiplier la première par l'inverse de la seconde :
$k=7−35+2×7+35−2k=\dfrac{\sqrt 7-\sqrt 3}{\sqrt 5 +2}\times \dfrac{\sqrt 7+\sqrt 3}{\sqrt 5-\sqrt 2}$

Lorsqu'on multiplie deux fractions entre elles, on peut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
$k=(7−3)(7+3)(5+2)(5−2)k=\dfrac{(\sqrt 7-\sqrt 3)(\sqrt 7+\sqrt 3)}{(\sqrt 5 +2)(\sqrt 5-\sqrt 2)}$
Tu calcules le numérateur (et tu dois trouver $4$ )
Tu calcules le dénominateur (et tu dois trouver $1$ )

Conclusion : $k=41=4k=\dfrac{4}{1}=4$
$7−35+2=4(5−27+3)\boxed{\dfrac{\sqrt 7-\sqrt 3}{\sqrt 5 +2}=4\biggr(\dfrac{\sqrt 5-2}{\sqrt 7+\sqrt 3}\biggr)}$

Bons calculs et bonnes réflexions !

bonsoir merci a @ @Black-Jack @Noemi @mtschoon la dernière démarche me permet de comprendre les autres et l'exercice

De rien @loicstephan.
Si la troisième démarche a débloqué le tout, c'est parfait !
Bon travail.