Intégral impropre de 0 à + l'infini
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AAbdel55 dernière édition par
Bonjour
Merci de m'orienter pour étudier la convergence et de calculer
l'intégral de 0 a + l'infini de :
[ln(x^2 + 1) - ln(x^2)]dx
Merci infiniment
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Bonjour,
Aide pour le calcul.
∫(ln(x2+1)−ln(x2))dx\int (ln(x^2+1) - ln(x^2)) dx∫(ln(x2+1)−ln(x2))dx
=∫ln(x2+1x2)dx= \int ln(\frac{x^2+1}{x^2}) dx=∫ln(x2x2+1)dx
IPP avec u = ln((x²+1)/x²)
du=−2x(x2+1)dxdu = -\frac{2}{x(x^2+1)} dxdu=−x(x2+1)2dx
et dx = dv ---> x = v=∫lnx2+1x2dx=x.ln(x2+1x2)+2∫dxx2+1= \int ln\frac{x^2+1}{x^2} dx = x.ln(\frac{x^2+1}{x^2}) + 2\int \frac{dx}{x^2+1}=∫lnx2x2+1dx=x.ln(x2x2+1)+2∫x2+1dx
=∫ln(x2+1x2)dx=x.ln(x2+1x2)+2.arctan(x)= \int ln(\frac{x^2+1}{x^2}) dx = x.ln(\frac{x^2+1}{x^2}) + 2.arctan(x)=∫ln(x2x2+1)dx=x.ln(x2x2+1)+2.arctan(x)
∫0∞ln(x2+1x2)dx=[x.ln(x2+1x2)+2.arctan(x)]0∞\int_0^\infty ln(\frac{x^2+1}{x^2}) dx = [x.ln(\frac{x^2+1}{x^2}) + 2. arctan(x)]_0^\infty∫0∞ln(x2x2+1)dx=[x.ln(x2x2+1)+2.arctan(x)]0∞
∫0∞ln(x2+1x2)dx=0+2.π2\int_0^\infty ln(\frac{x^2+1}{x^2}) dx = 0 + 2. \frac{\pi}{2}∫0∞ln(x2x2+1)dx=0+2.2π
∫0∞ln(x2+1x2)dx=π\int_0^\infty ln(\frac{x^2+1}{x^2}) dx = \pi∫0∞ln(x2x2+1)dx=π
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Rebonjour,
Pour le 1 ... (à remettre sous forme acceptable et compléter).
ln(x²+1) - ln(x²) = ln((x²+1)/x²) (continue sur R*+)
... tend vers 0 en plus l'infiniDonc si il y a des soucis pour l'intégration ce serait uniquement pour x --> 0
Pour x proche de 0+, on a ln((x2+1)/x2)≃ln(1/x2)=−2.ln(x)ln((x^2+1)/x^2) \simeq ln(1/x^2) = -2.ln(x)ln((x2+1)/x2)≃ln(1/x2)=−2.ln(x)
Or −2.∫ln(x)dx=−2.(xln(x)−x)-2.\int ln(x) dx =-2.( xln(x) - x)−2.∫ln(x)dx=−2.(xln(x)−x)
Et limx→0+[−2.(xln(x)−x)]=0lim_{x\to 0+} [-2.(xln(x) - x)] = 0limx→0+[−2.(xln(x)−x)]=0
Il n'y a donc pas de soucis non plus avec l'intégrale du coté de la borne x=0
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Attendre l'intervention d'un vrai matheux (pas moi) pour corriger cela.