Soit P(z) et z0=2i est une racine de P
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Rémy DC dernière édition par
Bonjour,
Je bloque sur la résolution d'un exercice, je vous mets l'énoncé si quelqu'un peut me donner une piste pour me lancer ce serait gentil
Soit P(z)=2z^3 + (-1-4i)z^2 + (1+2i)z - 2i
Montrer que z0=2i est une racine de P.j'ai tenté de remplacer z par 2i mais je ne parviens pas à trouver 0...
Merci d'avance
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@Rémy-DC Bonjour,
Vérifie tes calculs, tu dois trouver 0.
Sinon indique tes calculs.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
Quelques détails si besoin,
i2=−1i^2=-1i2=−1
(2i)2=4i2=−4(2i)^2=4i^2=-4(2i)2=4i2=−4
(2i)3=8i3=8(i2)i=−8i(2i)^3=8i^3=8(i^2)i=-8i(2i)3=8i3=8(i2)i=−8iDonc
P(2i)=2(−8i)+(−1−4i)(−4)+(1+2i)(2i)−2iP(2i)=2(-8i)+(-1-4i)(-4)+(1+2i)(2i)-2iP(2i)=2(−8i)+(−1−4i)(−4)+(1+2i)(2i)−2iAprès développements et simplifications, tu dois bien trouver P(2i)=0P(2i)=0P(2i)=0
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Rémy DC dernière édition par
Super !
C'est bon, je faisais des petites erreurs de calcul qui me menaient complètement à côté..
Merci beaucoup à vous deux pour votre aide !
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mtschoon dernière édition par
De rien @Rémy-DC et bonne suite pour cet exercice ( car j'imagine qu'il a une suite...)
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Rémy DC dernière édition par
@mtschoon Merci, oui c'est que le début et ce n'est pas mon domaine préféré des maths..
Ca va aller je suis lancé maintenant
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@Rémy-DC
Une autre piste : la factorisation.
P(z)=2z3−4iz2−z2+z+2iz−2iP(z) = 2z^3-4iz^2-z^2+z+2iz-2iP(z)=2z3−4iz2−z2+z+2iz−2i
P(z)=2z2(z−2i)−z(z−2i)+z−2iP(z)= 2z^2(z-2i)-z(z-2i)+z-2iP(z)=2z2(z−2i)−z(z−2i)+z−2i
P(z)=(z−2i)(2z2−z+1)P(z)=(z-2i)(2z^2-z+1)P(z)=(z−2i)(2z2−z+1)Factorisation qui peut servir pour la suite de l'exercice.
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Rémy DC dernière édition par
@Noemi C'est justement par là que j'ai continué l'exercice pour déterminer les réels a, b et c par
P(z)=(z−2i)(az^2+bz+c)Merci pour le coup de pouce
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
@Rémy-DC , pour ta seconde question, le calcul de Noemi par factorisation est le plus rapide.
Pour information, je t'indique la méthode usuelle par identification (qui est , je pense la méthode attendue par l'énoncé).
P(z)=(z−2i)(az2+bz+c)P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c)P(z)=(z−2i)(az2+bz+c)
Après développement,
P(z)=az3+(b−2ia)z2+(c−2ib)z−3icP(z)=az^3+(b-2ia)z^2+(c-2ib)z-3icP(z)=az3+(b−2ia)z2+(c−2ib)z−3icPar identification avec l'expression de l'énoncé, pour tout z complexe :
{a=2b−2ia=−1−4ic−2ib=1+2i−2ic=−2i\begin {cases}a=2\cr b-2ia=-1-4i\cr c-2ib=1+2i\cr -2ic=-2i\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a=2b−2ia=−1−4ic−2ib=1+2i−2ic=−2i
Après résolution, on obtient : a=2,b=−1,c=1a=2,b=-1,c=1a=2,b=−1,c=1A toi de voir la méthode la plus adaptée à ton cours et énoncé.
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Rémy DC dernière édition par
@mtschoon @Noemi
Bonjour, j'ai fini mon exercice.
Encore merci à vous deux pour le gros coup de pouce !
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C'est parfait si tu as pu terminer l'exercice seul.
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mtschoon dernière édition par
C'est très bien @Rémy-DC .
Je pense que la fin de ton exercice te demandait de résoudre l'équation P(z)=0P(z)=0P(z)=0 et que tu l'as résolue sans difficulté.
Bon travail !
