prolongement par continuité

bonsoir j'ai un exercice et j'aimerais avoir des indications afin de pouvoir commencer mon exercice
soit la fonction f défini de R vers R par:
f(x)=6x/(x+2) si ∈]+oo;1[ et f(x)=√(3x+1) si ∈]1;+oo[.
peut on prolonger f par continuité en 1

Bonjour,

Il faut vérifier si la lim de f pour x tendant vers 1 par valeurs inférieures est égale à la lim de f pour x tendant vers 1 par valeurs supérieures, soit donc vérifier si :

$(3x+1)lim_{x \to 1 \langle} \ (\frac{6x}{x+2}) = lim_{x \to 1 \rangle}\ (\sqrt{3x+1} )$

Si non, on ne peut pas prolonger f par continuité en 1
Si oui, on peut prolonger f par continuité en 1 par f(1) = limite calculée ci-dessus.

@Black-Jack bonsoir
comme lim f(x) lorsque x tends vers 1 par valeurs inférieure égal à 2 et lim de f(x) lorsque x tends vers 1 par valeurs supérieur égal à √5 donc f n'est pas prolongeable par continuité

@Maxime-174 Bonsoir,

Vérifie le $5\sqrt5$ ?

@Noemi bonsoir
c'est plutôt √4

@Maxime-174

Oui, donc tu peux conclure.

@Noemi bonsoir
donc f n'est pas prolongeable par continuité en 1

@Maxime-174

$4=2\sqrt4= 2$ donc ....

@Noemi
donc f est prolongeable par continuité en 1

Pour déterminer si la fonction f peut être prolongée par continuité en x = 1, nous devons vérifier si les limites de f(x) quand x approche 1 par la gauche (limite gauche) et par la droite (limite droite) sont égales, c'est-à-dire :

Limite gauche : lim(x → 1⁻) f(x)
Limite droite : lim(x → 1⁺) f(x)

Pour la limite gauche, nous utilisons la première expression de f(x) lorsque x ∈ ]+∞;1[ :

lim(x → 1⁻) (6x / (x+2))

Pour la limite droite, nous utilisons la deuxième expression de f(x) lorsque x ∈ ]1;+∞[ :

lim(x → 1⁺) √(3x+1)

Si ces deux limites sont égales, alors vous pouvez prolonger f par continuité en x = 1. Si elles sont différentes, vous ne pouvez pas prolonger f par continuité en 1.

Effectuez ces calculs de limites et comparez-les pour déterminer si la fonction peut être prolongée par continuité en 1.