Obtention d’une expression de la valeur exacte de cos(2π/5) grâce aux nombres complexes.

Bonjour, Je bloque sur la résolution d'un exercice, je vous mets l'énoncé, j’ai déjà traité a) b) et c) si quelqu'un peut me donner une piste pour continuer et faire le d) ce serait gentil

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct.

a) z désigne un complexe quelconque. Démontrer l'égalité : (z−1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=z^5−1.

b) Soit p=e^2iπ/5 . Justifier que p^5=1.

c) Déduire de a) et b) que 1+p+p^2+p^3+p^4=0

d) On rappelle que, pour tout réel θ : e^iθ+e^−iθ=2cosθ.
Justifier que p+p^4=2cos(2π/5)et p^2+p^3=2cos(4π/5).

je n’arrive pas à remplacer par e^-i2π/5 par p^4  Merci d'avance

Bonjour.

Rappels: (i) $∀z=reiθ∈C,z+zˉ=2rcos⁡θ\forall z=re^{i\theta}\in \mathbb C, z+\bar z=2r\cos\theta$
; (ii) $2π\frac{8\pi}{5}\equiv-\frac{2\pi}{5}+\frac{10\pi}{5}\equiv -\frac{2\pi}{5} \mod 2\pi$ .

Donc
$p4=e−2iπ5=pˉp^4=e^{\frac{-2i\pi}{5}}=\bar p$
De même, $p3=p2ˉp^3=\bar{p^2}$ .

Une interprétation géométrique est la bienvenue : $1,p,...,p^4$ sont les sommets d'un pentagone régulier.

@Rémy-DC a dit dans Obtention d’une expression de la valeur exacte de cos(2π/5) grâce aux nombres complexes. :

Bonjour, Je bloque sur la résolution d'un exercice, je vous mets l'énoncé, j’ai déjà traité a) b) et c) si quelqu'un peut me donner une piste pour continuer et faire le d) ce serait gentil

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct.

a) z désigne un complexe quelconque. Démontrer l'égalité : (z−1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=z^5−1.

b) Soit p=e^2iπ/5 . Justifier que p^5=1.

c) Déduire de a) et b) que 1+p+p^2+p^3+p^4=0

d) On rappelle que, pour tout réel θ : e^iθ+e^−iθ=2cosθ.
Justifier que p+p^4=2cos(2π/5)et p^2+p^3=2cos(4π/5).

je n’arrive pas à remplacer par e^-i2π/5 par p^4  Merci d'avance

Bonjour,

"Je n’arrive pas à remplacer par e^-i2π/5 par p^4"

p = e^(i.2Pi/5)
p^4 = e^(i.8Pi/5) = e^(i.(8Pi/5 + 2k.Pi)) (avec k dans Z)
et pour k = -1 --> p^4 = e^(i.(8Pi/5 - 2Pi)) = e^(i.(-2Pi/5)) = e^(-i.2Pi/5)

@Henri Merci pour votre réponse je vais me pencher dessus cette après-midi !

@Black-Jack Merci pour le déblocage je vais reprendre tranquillement !