Primitive produit polynome et racine

[Martin]

Bonjour,
Pour préparer ma rentrée en prépa, j'ai décidé de faire des révisions de l'année dernière (année de terminale) et il y a un point sur lequel je bloque.

J'essaie de primitiver cette expression: (x²+2x+3)√(x^3+3x²+9x+1)
Je trouve la primitive de x^3+3x²+9x+1 qui est 1/4x^4+x^3+9/2x²+x et la primitive de x²+2X+3 qui est 1/3d/dx(x^3+3x²+9x+1). Est-ce bien cela ?

Maintenant je suis bloqué sur la méthode à utiliser (intégrale ?) et les étapes suivantes.

Merci à celles et ceux qui prendront le temps de me répondre.
Bonne journée.

[Black-Jack]

@Nathan-M a dit dans Primitive produit polynome et racine :

(x²+2x+3)√(x^3+3x²+9x+1)

Bonjour,

(x²+2x+3) * √(x^3+3x²+9x+1) dx

Poser u² = (x^3+3x²+9x+1)
2u du = (3x² + 6x + 9) dx
2u du = 3(x² + 2x + 3) dx
(x² + 2x + 3) dx = (2/3) u.du

Et alors : (x²+2x+3) * √(x^3+3x²+9x+1) dx = (2/3) u².du

Dont une primitive est F(u) = (2/9).u³

$F(x)=(2/9)\ast \sqrt{(x^3+3x²+9x+1{)}^3}$

$\int (x^2+2x+3).\sqrt{x^3+3x^2+9x+1}dx=(2/9)\ast \sqrt{(x^3+3x²+9x+1{)}^3}$

[Sergio Hassan]

Bonjour,

Pour primitiver l'expression (x²+2x+3)√(x^3+3x²+9x+1), vous êtes sur la bonne voie en trouvant les primitives des deux parties. Vous avez correctement calculé la primitive de x^3+3x²+9x+1, qui est 1/4x^4+x^3+9/2x²+x, et la primitive de x²+2x+3, qui est 1/3d/dx(x^3+3x²+9x+1).

Maintenant, vous pouvez utiliser l'intégration par parties pour primitiver l'expression combinée. L'intégration par parties est basée sur la formule : ∫u dv = uv - ∫v du.

Dans votre cas, vous pouvez choisir u = (x²+2x+3) et dv = √(x^3+3x²+9x+1) dx. Ensuite, calculez du et v, puis appliquez la formule.

Une fois que vous avez effectué cette étape, vous obtiendrez la primitive souhaitée de l'expression. N'oubliez pas de vérifier votre réponse et de simplifier autant que possible. Vous pouvez réviser ves formules avec cette carte.

Bonne journée et bon travail !

[Black-Jack]

@Sergio-Hassan a dit dans Primitive produit polynome et racine :

Bonjour,

Pour primitiver l'expression (x²+2x+3)√(x^3+3x²+9x+1), vous êtes sur la bonne voie en trouvant les primitives des deux parties. Vous avez correctement calculé la primitive de x^3+3x²+9x+1, qui est 1/4x^4+x^3+9/2x²+x, et la primitive de x²+2x+3, qui est 1/3d/dx(x^3+3x²+9x+1).

Maintenant, vous pouvez utiliser l'intégration par parties pour primitiver l'expression combinée. L'intégration par parties est basée sur la formule : ∫u dv = uv - ∫v du.

Dans votre cas, vous pouvez choisir u = (x²+2x+3) et dv = √(x^3+3x²+9x+1) dx. Ensuite, calculez du et v, puis appliquez la formule.

Une fois que vous avez effectué cette étape, vous obtiendrez la primitive souhaitée de l'expression. N'oubliez pas de vérifier votre réponse et de simplifier autant que possible. Vous pouvez réviser ves formules avec cette carte.

Bonne journée et bon travail !

Bonjour,

Et comment calcules-tu v à partir de dv = √(x^3+3x²+9x+1) dx ?

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Si on n'a pas étudié le changement de variables comme indiqué dans mon message, on peut remarquer que la primitive demandée est de la forme :
$\frac{1}{3}.\sqrt{u}du=\frac{1}{3}.u^{\frac{1}{2}}du$ avec u = x³+2x²+9x+1

Et que donc une primitive est immédiatement (1/3)/(3/2) .u^(3/2) = (2/9).u^(3/2) = ...

[Black-Jack]

Rebonjour,

Juste pour le fun, je donne ici le résultat du calcul de mon singe pour $\int \sqrt{x^3+3x^2+9x+1}dx$

C'est une photo ... que j'ai du couper en deux pour pouvoir la mettre sur le site (et que j'aurais du couper au moins en 4 pour être lisible) :

... qui comporte notamment encore des intégrales elliptiques (donc des fonctions spéciales)