Démontre que ((a+b)/2)^3 <=(a^3+b^3)/2

[Roy04]

Bonjour a tous. J'ai besoin d'aide sur cet exo (la question 2)
Exo

1. Développe (a+b)^3.
2. On suppose que a et b sont positifs.
   Démontre que ((a+b)/2)^3 <=(a^3+b^3)/2

[Noemi]

@Roy04 Bonjour,

Pour la première question :
soit tu développes :$(a+b)(a+b{)}^2$
Soit tu connais la relation $(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+.....$

Pour la deuxième question
Exprime $(\frac{a^3+b^3}{2})$ à partir de la relation trouvée question 1.
$(\frac{a^3+b^3}{2})=\frac{(a+b{)}^3}{2}-.....$

[Roy04]

[Roy04]

Perci d'avoir répondu à mes questions.
Je comprends toujours pas comment parvenir à la démonstration de l'inégalité.
Et mes excuses car j'ai des difficultés pour insérer les écritures mathématiques.
Je viens de poster l'exo en image

[Roy04]

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[Black-Jack]

Bonjour,

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

((a+b)/2)³ = (a+b)³/8 = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)/8 - (a³+b³)/2

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)/8 - (4a³+4b³)/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³- 4a³ - 4b³)/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = (-3a³ + 3a²b + 3ab² -3b³)/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = (3a²(b-a) + 3b²(a -b))/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = (3a²(b-a) + 3b²(a -b))/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = 3.(b-a).(a² - b²)/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = 3.(b-a).(a - b)(a + b)/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = - 3.(a-b).(a - b)(a + b)/8

((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 = - 3.(a-b)².(a + b)/8 qui est <=0 avec a et b >= 0

Donc ((a+b)/2)³ - (a³+b³)/2 <= 0

((a+b)/2)³ <= (a³+b³)/2

[Roy04]

@Black-Jack c'est génial. Merci pour tout