Démontrations par récurrence

[socrate]

Salut à tout le groupe j'aimerais savoir comment démontrer par récurrence cette inégalité mathématique $n!\ge 2^{n-1}$

inégalité remise en forme par la modération.

[Black-Jack]

Bonjour,

Par exemple :

Supposons que n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour une certaine valeur k pour n, avec k >= 1
On a alors :
Pour k>= 1 :
k! >= 2^(k-1)
on multiplie les 2 cotés par (k+1)
(k+1)*k! >= (k+1)*2^(k-1)
(k+1)! >= (k+1)*2^(k-1)
Mais, comme k >= 1, on a (k+1) >= 2 et donc il vient :
(k+1)! >= (k+1)*2^(k-1) >= 2 * 2^(k-1)
(k+1)! >= 2^k

Et donc, si n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour n = k, c'est encore vrai pour n = (k+1) (sous la condition que k >= 1) (1)
'''''
Vérifions que n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour n = 1
En effet : 1! >= 2^(1-1)
1 >= 1 ... donc on a bien n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour n = 1 (2)
'''''
Comme n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour n = 1 et par (1), il vient :

n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour tout n de N* (3)
'''''
On peut aussi voir si n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour n = 0
0! >= 2^(0-1)
1 >= 1/2 ... et donc n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour n = 0 (4)
'''''
(3) et (4) ---> n! >= 2 ^(n-1) est vrai pour tout n de N

A comprendre et savoir refaire ... comme montré ou autrement.