détermination des ensembles nombre complexe

bonjour j'espère avoir votre aide dans cet exercice car je trouve des difficultés à m'en sortir et merci beaucoup!

on donne f(z)=(z-1+3i)/(z+2-3i)
question: déterminer les ensembles suivants:
E1={M(z)/f(z) appartient à R}
E2{M(z)/ f(z) appartient à iR}
E3={M(z)/|f(z)|-1}
E4={M(z)/|f(z)|-2}

merci d'avance!

@noamii Bonjour,

Commence par modifier l'écriture de $f (z)$ en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
$=\dfrac{(z-1+3i)(z+2+3i)}{(z+2-3i)(z+2+3i)}= \dfrac{z^2+z-11+3i(2z+1)}{(z+2)^2+9}$
$f (z)$ appartient à $R\mathbb{R}$ si .....

Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une vérification.

voici mes éléments de réponse:

f(z)=z-1+3i/z+2-3i
=(z-1+3i)(z+2+3i)/(z+2-3i)(z+2+3i)
=(z-1+3i)(z+2+3i)/(z+2)²+(3i)²
=(z-1+3i)(z+2+3i)/(z+2)²+9

je me suis bloquée ici j'ai voulu développer le numérateur mais je ne pense pas que ceci sera utile

@Noemi f(z) appartient à R si Im(z)=0
or f(z)=z ²+z−11+3i(2z+1)/(z+2)²+9=(z ²+z−11/(z+2)²+9) + i×3(2z+1)/(z+2)²+9)
on pose Im(z)=0
c-à-d 3(2z+1)/(z+2)²+9)=0
=> 3(2z+1)=0
=> 6z+1=0
=>z=-1/6

@noamii

Attention la fin est fausse :
$3 (2 z + 1) = 0$ équivalent à $2 z + 1 = 0$ soit
$z = . . .$
Si tu développes : $3 (2 z + 1) = 6 z + 3$

@Noemi je m'excuse pour cette faute d'inattention et merci par la correction !
donc z=-1/2
ensuite je remplace z dans la partie imaginaire par -1/2?
en fait s'il me demande de déterminer un ensemble c-à-d de résoudre l'équation définissant cet ensemble en suivant les conditions données? donc en fin S dans E1={-1/2}?

@noamii

Oui, c'est correct. Cherche $E_2$

Ce message a été supprimé !

@Noemi pour je trouve E2={-1+3√5/2 ; -1-3√5/2}
pouvez-vous me donner quelques indices pour E3?

@noamii

Juste pour $E_2$ ,
Pour les deux autres ensembles c'est module de $f (z)$ - 1 ou module de $f (z) = 1$ ?

@Noemi c'est module de f(z)=1

@Noemi de meme pour E4 c'est module de f(z)=2

@noamii

Donc résous l'équation $∣f(x)∣=1\mid f(x) \mid =1$ ce qui donne :
$∣z−1+3i∣=∣z+2−3i∣\mid z-1+3i \mid = \mid z+2-3i \mid$
en remplaçant $z$ par $x + i y$ .

@Noemi voici les éléments de ma réponse:
|f(z)|-1=|fz-1+3i/z+2-3i|-1
|z-1+3i/z+2-3i|=1
|z-1+3i| / |z+2-3i|=1
|z-1+3i| = |z+2-3i|
| ai+b -1+3i| = |a+ib+2-3i|
|a-1+i(b+3)|=|a+2+i(b-3)|
juste je voudrais savoir concernant la valeur absolue, est-ce que c'est possible d'écrire
|A/B|=|A|/|B| ?

@noamii

La relation est juste.

Utilise la définition de module : $∣a+ib∣=a2+b2\mid a+ib\mid = \sqrt{a^2+b^2}$

@Noemi tout calcul fait je trouve a=1/2 donc c'est la solution pour l'ensemble E3

@noamii

Vérifie tes calculs, tu dois trouver une relation dépendant de $a$ et $b$ .
je trouve : $2 a - 4 b + 1 = 0$
Attention aux signes.

@Noemi oui j'avais des fautes de signaux voici ma réponse après vérification:
(a-1)²+(b+3)²=(a+2)²+(b-3)²
=>a²+2a+1+b²+6b+9=a²+4a+4+b²-6b+9
=> 2a+1+6b-4a-4+6b=0
=>-2a+12b-3=0
=>2a-4b+1=0

je précèdera alors après par un système ? pour trouver a et b ?

@noamii a dit dans détermination des ensembles nombre complexe :

@Noemi oui j'avais des fautes de signaux voici ma réponse après vérification:
(a-1)²+(b+3)²=(a+2)²+(b-3)²
=>a²+2a+1+b²+6b+9=a²+4a+4+b²-6b+9
=> 2a+1+6b-4a-4+6b=0
=>-2a+12b-3=0
=>2a-4b+1=0

je précèdera alors après par un système ? pour trouver a et b ?

Bonjour,

" je précèdera alors après par un système ? pour trouver a et b ?" ?

Non, l'ensemble des solutions est z = a + ib sous la contrainte que 2a-4b+1=0

Dit autrement, l'ensemble des solutions sont les z = x+iy avec y = x/2 + 1/4 (donc une droite dans le plan complexe).

Dit encore autrement :
L'ensemble des solutions sont z = a + i * (1+2a)/4 pour a quelconque dans R

Il aurait fallu d'abord chercher le domaine d'existence de f ... pour être sûr que parmi les solutions trouvées, il n'y ait pas des nombres complexes z interdits.

f(z)=(z-1+3i)/(z+2-3i)
---> z = -2+3i est interdit

@Black-Jack je n'ai pas compris comment tu as pu trouvé cet expression affine de la droite dans le plan mais tout est clair concernant le reste

@noamii a dit dans détermination des ensembles nombre complexe :

@Black-Jack je n'ai pas compris comment tu as pu trouvé cet expression affine de la droite dans le plan mais tout est clair concernant le reste

Bonjour,

Tu as trouvé la relation : 2a - 4b + 1 = 0

"a" est la partie réelle et "b" la partie imaginaire des nombres complexes solutions.

Une pratique courante est de représenter cela dans le plan complexe.
Le plan complexe a pour abscisse la partie réelle et pour ordonnée la partie imaginaire.

Plutôt que de noter z = a + ib, on le note z = x + i.y
avec x noté sur l'axe des abscisses du plan complexe et y noté sur l'axe des ordonnées du plan complexe.

Dans le cas qui nous occupe, plutôt que de noter "2a - 4b + 1 = 0" on note :
2x - 4y + 1 = 0 ... qui est l'équation d'une droite dans le plan complexe.

On peut évidemment écrire cette équation : 4y = 2x + 1, soit encore :
y = x/2 + 1/4

C'est l'équation d'une droite dans le plan complexe ...

Tous les points de cette droite conviennent comme solution.

Vérification pour un point quelconque de cette droite :
Si x = 1 par exemple , alors y = 1/2 + 1/4 = 3/4 = 0,75
et on peut vérifier que avec z = 1 + 0,75.i on trouvera bien |f(z)| = 1

Et idem quelle que soit la valeur de x choisie (et celle de y déduite de l'équation de la droite).

@Black-Jack merci je comprends mieux grâce à votre explication
juste pour le 4eme ensemble je trouve un cercle est-ce que c'est correcte?

@noamii

Pour la quatrième question, le résultat est bien l'équation d'un cercle.

@Noemi a dit dans détermination des ensembles nombre complexe :

@noamii

Pour la quatrième question, le résultat est bien l'équation d'un cercle.

Oui, c'est bien un cercle ...
Mais tu dois en préciser le centre et le rayon (dans le plan complexe)

Pour moi, le centre a pour coordonnée (dans le plan complexe) : (-3 ; 5)
On peut aussi écrire que le centre est pour affixe z = -3 + 5i
Et le rayon est $2\sqrt{5}$

Si c'est cela que tu as trouvé ... alors c'est OK.

@Black-Jack a dit dans détermination des ensembles nombre complexe :

@Noemi a dit dans détermination des ensembles nombre complexe :

@noamii

Pour la quatrième question, le résultat est bien l'équation d'un cercle.

Oui, c'est bien un cercle ...
Mais tu dois en préciser le centre et le rayon (dans le plan complexe)

Pour moi, le centre a pour coordonnée (dans le plan complexe) : (-3 ; 5)
On peut aussi écrire que le centre est pour affixe z = -3 + 5i
Et le rayon est $2\sqrt{5}$

Si c'est cela que tu as trouvé ... alors c'est OK.

Mon message était pour noamii, erreur de "citer".

@Black-Jack oui c'est bien ce que j'ai trouvé merci!

@noamii a dit dans détermination des ensembles nombre complexe :

@Black-Jack oui c'est bien ce que j'ai trouvé merci!

C'est parfait.

Ici, il n'y avait pas de soucis avec le domaine d'existence de f(z)
Mais pour les exercices futurs, il faudra vérifier si l'entièreté du lieu trouvé (ici un cercle) convient.

Si par exemple (ce n'est pas le cas ici), le cercle trouvé incluait le point d'affixe z = -2+3i, il aurait fallu "oter" ce point des solutions.

Il arrive souvent que des solutions soient par exemple :
Le cercle de centre d'affixe z = ... et de rayon = ... A L'EXCEPTION du point d'affixe z = ...

Ce message a été supprimé !

@Black-Jack d'accord bien noté