Démonstration par l'absurde

Bonsoir,
Au détour d'un exercice je devais démontrer par l'absurde que (10^n)+1 n'est pas divisible par 9. Cependant on n'a pas le droit d'utiliser la conférence ( sinon l'exo se fait en 2 secondes). Ce résultat est hyper trivial mais la démonstration par l'absurde semble difficile. J'ai déjà trouvé quelques résultats mais qui ne sont pas satisfaisants. Auriez-vous des idées de démonstration qui à la fois n'utilise pas la congruence et qui sont satisfaisantes (oui je sais c'est un terme subjectif mais je pense que vous comprenez ce que je veux dire).
D'avance merci.

Pardon c'est pas "conférence" mais congruence.

@André-mathis Bonsoir,

Tu as une démonstration exercice 15 : http://www.jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/divisibilite-TS.php

Oui excusez moi j'ai oublié de préciser, ce raisonnement est celui que notre prof nous a présenté. Mais par pitié je trouve les raisonnement qui utilisent la propriété des combinaisons linéaires excessivement moche, n'existe-t-il pas de raisonnement "plus élégant" et utilise seulement l'égalité présenté plus haut. Alors j'ai une idée que je n'ai pas encore pu expérimenter et qui se baserait sur une démonstration géométrique. Avant que je m'y lance demain pensez-vous qu'une tel chose est envisageable ?

Bonjour,

Pas par l'absurde et sans utiliser les congruences, on peut faire ceci :

Comme appris en primaire ... :

Critère de divisibilité par 9 :
"Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9" (1)

La somme des chiffres d'un nombre valant (1 + 10^n) est 2 et donc, par (1), il n'est pas divisible par 9.
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Et une manière parmi plein d'autres de démontrer (1), si on le veut, peut être :

Soit N un nombre écrit en base 10 :
N = … 10³ m + 10² c + 10 d + u

avec : m = milliers; c = centaines; d =dizaines et u = unités

N = … (999+1)m + (99+1)c + (9+1)d + u
N = …999m + 99c + 9d + m + c + d + u
N = … 9(111m + 11c + d) + m + c + d + u

Si N est un multiple de 9, alors N = 9k = … 9(111m + 11c + d) + m + c + d + u et donc la somme des chiffres de N est divisible par 9
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Alors je vais vraiment paraître chiant pour le coup mais là encore ce n'est pas ce que j'attendais à vrai dire c'est même ce que je sous-entendais par congruence (étant donné que le critère de divisibilité par 9 se démontre par congruence). Mais vous ne répondez pas à ma question étant jeune apprenti en mathématiques je ne sais pas si une démonstration géométrique mérite d'être tentée.

@André-mathis

Peux-tu préciser ce que tu entends par "démonstration géométrique " ?

@André-mathis a dit dans Démonstration par l'absurde :

Alors je vais vraiment paraître chiant pour le coup mais là encore ce n'est pas ce que j'attendais à vrai dire c'est même ce que je sous-entendais par congruence (étant donné que le critère de divisibilité par 9 se démontre par congruence). Mais vous ne répondez pas à ma question étant jeune apprenti en mathématiques je ne sais pas si une démonstration géométrique mérite d'être tentée.

Bonjour,

Non, le critère de divisibilité par 9 peut se démontrer par congruence ...
mais aussi par plusieurs autres méthodes.

Pour moi, (mais je n'ai rien d'un matheux et je ne suis pas prof), toute méthode de résolution sans erreurs est bonne, la meilleure est celle qui arrive le plus vite et le plus simplement au but.
Imposer une autre méthode (dépensière en temps ou inutilement compliquée) est un très mauvais service qu'on rend aux élèves.
Dans la vraie vie (donc pas dans l'enseignement), dans le futur job des élèves, "time will be money" et celui qui ne va pas le plus vite possible au but se verra botter les fesses.

Si on veut enseigner une méthode (par exemple les démos par l'absurde) ... il faut le faire en choisissant des exercices où cette méthode est au moins aussi efficace que les alternatives. (Ce n'est que mon avis).

Quant à une démo géométrique ... pourquoi pas, si elle est efficace et simple.
Mais, sur ce point, je suis comme Noemi, je ne sais pas ce que tu entends, dans ce cas, par "démonstration géométrique"

@André-mathis a dit dans Démonstration par l'absurde :

Auriez-vous des idées de démonstration qui à la fois n'utilise pas la congruence et qui sont satisfaisantes.

Par récurrence peut-être ? On peut remarquer que :
(10^(n+1)) + 1 = 10 * (10^n + 1) - 9