exercice portant sur la divisibilité dans Z

[Suunh]

Bonsoir,
Je dois faire l'exercice : démontrer que le n=ab(a^2 -b^2 ) est divible par 3, quels que soient les entiers relatifs a et b.

n=ab(a^2 -b^2 ) est divible par 3, c'est-à-dire n=3K, K appartenant à Z.
Je remarque une identité remarquable : n = ab((a+b)(a-b)). Mais je ne vois pas comment prouver que n=ab(a^2 -b^2 ) est divisible par 3. Si vous pourriez m'aider, merci.

[Black-Jack]

@Suunh

Bonjour,

Une méthode parmi d'autres ...

Si a ou b est multiple de 3, c'est démontré, car a*b est multiple de 3 et donc ...

Si ni a ni b ne sont multiples de 2 :

Pour que a ne soit pas multiple de 3 il n'y a que 2 possibilités :
a = 3k1 + 1 ou a = 3k1 + 2 (avec k1 quelconque dans Z)

Pour que b ne soit pas multiple de 3 il n'y a que 2 possibilités :
b = 3k2 + 1 ou a = 3k2 + 2 (avec k2 quelconque dans Z)
''''''''''''
cas possibles :

1°) a = 3k1 + 1 et b = 3k2 + 1
(a-b) = 3k1 - 3 k2 = 3(k1 - k2) ... et donc est multiple de 3
et n = ab((a+b)(a-b)) est divisible par 3

2°) a = 3k1 + 2 et b = 3k2 + 2
(a-b) = 3k1 - 3 k2 = 3(k1 - k2) ... et donc est multiple de 3
et n = ab((a+b)(a-b)) est divisible par 3

3°) a = 3k + 1 et b = 3k + 2
(a+b) = 3k1 + 3 k2 + 3 = 3(k1 + k2 + 1) ... et donc est multiple de 3
et n = ab((a+b)(a-b)) est divisible par 3

La démo pour le cas a = 3k + 2 et b = 3k + 1est identique à la précédente.

Et donc : n=ab(a^2 -b^2 ) est divisible par 3, quels que soient les entiers relatifs a et b.

[Suunh]

@Black-Jack a dit dans exercice portant sur la divisibilité dans Z :A

Pour

Ah oui, je vois. Merci beaucoup pour l'explication de toute la démonstration.
Cet exercice nécessite donc en particulier des connaissances sur le chapitre de la division euclidienne, si je ne me trompe pas ?

[adaniel]

@Black-Jack
Bonjour,
Plus simplement (pour s' amuser):
Le reste de la division de $a^2$ (ou $b^2$) par 3, ne peut etre qu 0 ou 1. Donc, pour que $a^2$ - $b^2$ ne soit pas divisible par 3, l'un des 2 restes doit etre 0. CQFD!