suites arithmético-géométrique

[math58004]

Bonjour j'ai un DM à faire et je suis pas très sur de mes réponses, j'ai fais les 5 premières questions, je ferai le reste après
Pouvez vous y jeter un oeil et me dire si tout va bien s'il vous plait?

On étudie une fourmilière dans laquelle chaque mois 15% des fourmis ne reviennent pas, tandis que la reine donne naissance à 330 nouvelles fourmis. Le 1 janvier 2021, il y a dans la fourmilière 3630 fourmis.

1. Montrer que le nombre de fourmis le 1 février 2021 est de 3416.
2. Déterminer le nombre de fourmis le 1 mars 2021.
3. Montrer que si l'on note $u_{(}n)$ le nombre de fourmis $n$ mois après le 1 janvier 2021, alors $u_{(}n+1)=0,85U_{(}n)+330$
4. Résoudre l'équation suivante : $x=0,85x+330$, dont on notera $x0$ la solution.
5. Montrer que la suie $V_{(}n)=u_{(}n)-x0$ est géométrique et donner sa raison.

Mes réponses :

1)Une réduction de 15% des fourmis revient à multiplier par $1-0,15=0,85$
$u_{(}n+1)=u_{(}n)\ast 0,85+330$
$u_{(}1)=u_{(}0)\ast 0,85+330$
$=3630\ast 0,85+330$
$=3416$

2. $u_{(}2)=u_{(}1)\ast 0,85+330$
   $u_{(}2)=3416\ast 0,85+330$
   $=3416\ast 0,85+330$
   $=3234$

3. je suis pas sure d'avoir compris ce qui est attendu ici mais je propose :
   $U_{(}n+1)=0,85x+330$
   je remplace U(n) par x (le nb de fourmis précédent à chaque fois$ jsp trop comment je dois rédiger

4. $x=0,85x+330$
   $x-0,85=330$
   $0,15x=330$
   $x0=330/0,15=2200$

5. on montre que $v_{(}n)$ est géométrique, en montrant le rapport $\frac{V_{(}n+1)}{V_{(}n)}$
   Vn = U(n) - x0

$\frac{V_{(}n+1)}{V_{(}n)}$=$\frac{0,85u_{(}n)+330-2200}{V_{(}n)}$

                                          = 0,85u_(n) -0,85*2200 / V(n)

$\frac{0,85\ast (U_{(}n)-2200)}{u_{(}n)-2200}$

Donc $\frac{V_{(}n+1)}{V_{(}n)}$ = 0,85.
Donc V(n) est géométrique de raison 0,85 et de premier terme V(0) :??

V(0) est à calculer pour la question 6, que dois-je faire ?

[Noemi]

@math58004 Bonjour,

Pour les calculs, écrire la valeur exacte puis la valeur arrondie.
Pour la question 3, tu as indiqué les éléments nécessaires dans les questions précédentes, inutile d'écrire $x$.
Pour la question 5, mieux présenter la factorisation de $0,85$

Pour le calcul de $v_0$, $v(0)=u(0)-x_0$

[math58004]

@Noemi

Merci!
J’ai donc fais la 6 :
V0 = U0 - X0
= 3630 - 2200
= 1430

J’ai encore 3 questions à faire et je ne vois pas trop comment faire? J’aimerai des conseils svp

7. Déduire des deux questions précédentes l'expression de Vn en fonction de n.

8. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

9. Quelle est la limite de la suite (Un) ?

[Noemi]

@math58004

Pour $v(n)$ en fonction de $n$, c'est du cours, terme général d'une suite géométrique.
Pour l'expression de $u(n)$ en fonction de $n$, partir de $u(n)=v(n)+x_0$ et utiliser la relation obtenue à la question précédente.

Pour la limite, faire tendre $n$ vers $+\infty$.

[math58004]

bonjour, merci de votre réponse
j'ai fais ça

7. $V(n)=v0\ast q^n$
   $V(n)=(U0-x0)\ast 0,85^n$
   $V(n)=3630-2200\ast 0,85^n$
   $V(n)=1430\ast 0,85^n$

8. $U(n)=V(n)+x0$
   $U(n)=1430\ast 0,85^n+2200$

est-ce correct?

[Noemi]

@math58004

C'est correct.
Tu peux calculer la limite