Problème de suite terminale S

Bonjour à tous,

je m'amuse à faire un problème donné à mon fils qui est en Terminale spé math.. Mais je ne me suis pas amusé longtemps :(. Je suis bloqué sur une question....
Je vous joins la photo de mon brouillon ... Pourriez-vous m'indiquer si j'ai bien rédigé la 1ere partie ... Et me donner une indication sur la dernière question de la page ?

Merci par avance :

Enoncé écrit en Latex par la modération.
$un=2nn!u_n= \dfrac{2^n}{\sqrt{n!}}$ et les questions :
1° Calculer $u_0$ , $u_1$ , $u_2$
2° Justifier que $∀n∈R\forall n \in \mathbb{R}$ avec $n≥15n\geq15$ on a $un+1≤12unu_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}u_n$ .
3° En déduire que $∀n≥15\forall n\geq 15$ ; $0≤un≤(12)n−15u150\leq u_n \leq (\dfrac{1}{2})^{n-15}u_{15}$ .

@Chris21300 Bonsoir,

Pour obtenir des éléments de réponse ou de correction il faut écrire l'énoncé.
Le scan ou un lien de l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum. Seuls les scans de schémas, graphiques ou figures sont autorisés.
Écris l'énoncé, tes éléments de réponse et indique la question qui te pose problème. Tu obtiendras alors des pistes de résolution.

Le scan va être supprimé par la modération du site.

Mais enfin @Noemi ! La photo que j'ai envoyée est le brouillon que j'ai moi meme écrit !!!!!

Bon je redépose la photo de MON BROUILLON ! Ce n'est donc pas un scan de bouquin !!!!!!!

@Chris21300

Ce qui manque c'est l'énoncé qui doit être écrit et non scanné. Il ne s'agit pas exclusivement d'un scan de manuel.
Tu as juste à écrire :
$un=2nn!u_n= \dfrac{2^n}{\sqrt{n!}}$ et les questions :
1° Calculer $u_0$ , $u_1$ , $u_2$
2° Justifier que $∀n∈R\forall n \in \mathbb{R}$ avec $n≥15n\geq15$ on a $un+1≤12unu_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}u_n$ .
3° ....

Si tu ne connais pas le Latex, la modération reprendra ton écrit.

L'objectif est de permettre à tous les utilisateurs du site d'identifier directement le sujet du post notamment si le titre n'est pas explicite.

Ah pardon @Noemi je n'avais pas compris ...
J'ai essayé de me familiariser avec le latex mais sans succès ... Il n'y a donc pas d'autres alternatives ?
J'avais, l'année dernière si je me souviens, posté un sujet en utilisant la fonction equation de word et j'avais publié le document word en question ... Mais ça n'avait pas été acceté non plus

@Chris21300

C'est le règlement du Forum, l'énoncé est à écrire directement avec le clavier.
Je vais exceptionnellement écrire l'énoncé.
Le scan est difficile à lire, les réponses aux premières questions sont correctes. Pour la question 3, il faut utiliser le résultat de la question 2.

merci @Noemi ...Je vais retenter de me former à latex ...
Pour la question 3 oui j'avais bien saisi qu'il fallait utiliser les réponses précédentes puisque c'est marqué 'en déduire" ... Mais je ne vois pas ... un autre petit indice ?

@Chris21300

Deux inégalités à démontrer :
1° $un≥0u_n\geq 0$
2° $un≤(12)n−15u15u_n\leq(\dfrac{1}{2})^{n-15}u_{15}$
pour celle-ci,
Tu pars de $u16≤12u15u_{16} \leq \dfrac{1}{2}u_{15}$
puis $u17≤12u16≤(12)2u15u_{17} \leq \dfrac{1}{2}u_{16} \leq (\dfrac{1}{2})^2u_{15}$
....

Merci @Noemi

Je n'aurais vraiment pas imaginé partir dans cette direction ...
Bon je regarderai cela demain ... Merci encore pour votre aide ...
Et je crois que je devrais réussir à poster en latex car a priori word propose un conversion des equations inscrites dans word au format latex

Bonne soirée à vous et encore merci !

@Chris21300

Bonne soirée aussi. N'hésite pas à indiquer tes calculs et résultats si tu souhaites une vérification.

Merci @Noemi ...
Bon je me suis remis sur le problème hier soir (je suis un papa qui a pas mal d'activités diverses j'ai donc parfois du mal à terminer rapidement tout ce que j'entreprends :)) ..

Je n'éprouve pas de difficulté à démontrer que $u_n<0$ (bon visiblement je ne sais pas coder en latex grrrr) car u_n est le quotient de 2 nombres positifs donc u_n <0 (d'ailleurs il s'agit d'une inégalité stricte non car le numérateur ne peut pas s'annuler ?).

Par contre je n'arrive pas à prouver la 2° inégalité (u_n inférieur ou égal à (1/2à^n-15 *u_15
J'ai tenté d'utiliser le raisonnement par récurence sans succès.
J'ai bien compris le mécanisme mais je n'arrive pas à le modéliser mathématiquement parlant...
Sans me donner la solution , pourriez-vous me donner une nouvelle indication ?

@Chris21300

Tu pars de $u16≤12u15u_{16} \leq \dfrac{1}{2}u_{15}$
puis $u17≤12u16≤(12)2u15u_{17} \leq \dfrac{1}{2}u_{16} \leq (\dfrac{1}{2})^2u_{15}$
Si on poursuit :
$u18≤12u17≤(12)3u15u_{18} \leq \dfrac{1}{2}u_{17} \leq (\dfrac{1}{2})^3u_{15}$
Il faut remarquer que pour un indice $n = 18$ , la puissance est 3 (18-15=3)
d'ou
$un≤(12)n−15u15u_{n} \leq (\dfrac{1}{2})^{n-15}u_{15}$

Pour latex ; \leq correspond à inférieur ou égal.

@Chris21300 a dit dans Problème de suite terminale S :

Bonjour à tous,

je m'amuse à faire un problème donné à mon fils qui est en Terminale spé math.. Mais je ne me suis pas amusé longtemps :(. Je suis bloqué sur une question....
Je vous joins la photo de mon brouillon ... Pourriez-vous m'indiquer si j'ai bien rédigé la 1ere partie ... Et me donner une indication sur la dernière question de la page ?

Merci par avance :

Enoncé écrit en Latex par la modération.
$un=2nn!u_n= \dfrac{2^n}{\sqrt{n!}}$ et les questions :
1° Calculer $u_0$ , $u_1$ , $u_2$
2° Justifier que $∀n∈R\forall n \in \mathbb{R}$ avec $n≥15n\geq15$ on a $un+1≤12unu_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}u_n$ .
3° En déduire que $∀n≥15\forall n\geq 15$ ; $0≤un≤(12)n−15u150\leq u_n \leq (\dfrac{1}{2})^{n-15}u_{15}$ .

Bonjour,

2°)
$Un=2nn!U_n = \frac{2^n}{\sqrt{n!}}$

$Un+1=2n+1(n+1)!U_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{\sqrt{(n+1)!}}$
$Un+1=2n∗2(n+1)∗(n!)U_{n+1} = \frac{2^{n} * 2}{\sqrt{(n+1)*(n!)}}$
$Un+1=2nn!∗2n+1U_{n+1} = \frac{2^{n}}{n!} * \frac{2}{\sqrt{n+1}}$
$Un+1=Un∗2n+1U_{n+1} = U_n * \frac{2}{\sqrt{n+1}}$ (1)

Et si n >= 15, $2n+1≤216\frac{2}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{2}{\sqrt{16}}$
$2n+1≤12\frac{2}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{1}{2}$ (2)

(1) et (2) $→\to$ si n >= 15, on a : $Un+1≤12UnU_{n+1} \leq \frac{1}{2} U_n$

Rebonsoir @Noemi

J'avais bien vu tout cela mais je ne pensais pas que ça puisse suffire ... N'y a t il pas besoin d'une démonstration ?

@Chris21300

Cette démarche est suffisante.

arf ..J'aurais pu m'épargner beaucoup de souffrances

En tout cas à nouveau un grand merci @Noemi pour votre temps consacré à mon aide