Problème sur variation de suite

Bonjour à tous,

Je suis bloqué sur la question 2 du sujet ci-après.

Enoncé

On considère la suite $u_n)$ définie par $un=11×2+12×3+...+1n(n+1)u_n=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$ $n∈N≥1\forall\ \ n\in N\geq1$

Vérifiez que $k∈N≥1\forall\ \ k\in N\geq1$ on a $1k−1k+1=1k(k+1)\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}$

En déduire que $n∈N≥1\forall\ \ n\in N\geq1$ on a $un=1−1n+1u_n=1-\frac{1}{n+1}$

En déduire la suite de $u_n)$

Mes calculs

Pas de difficulté pour question 1.
Pour la question 2 J'ai tenté d'utiliser un raisonnement par récurence sans succès .. Je ne vois pas vers où aller :(. Je suppose qu'il faut utiliser le résultat de la question 1 mais je ne sais que faire de cette réponse
Pourriez-vous m'oritenter un peu ?
Merci par avance

@Chris21300 , bonjour,

Tu sais que $1k(k+1)=1k−1k+1\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$

Pour la 2),
Tu appliques cette formule pour $k = 1, k = 2, . ., k = n$ .
Tu ajoutes ces n formules ainsi obtenues.
Tu simplifies leur somme et tu obtiens l'expression souhaitée pour $u_n$

@Chris21300 ,

Pour la 3), je pense que tu as voulu dire "en déduire la limite de la suite $u_n)$ "

Oups désolé @mtschoon j'ai oublié le mot limite ...
Oui je dois étudier la limite de $u_n)$ merci

Mais pour l'instant il faut déja que je me penche sur la question 2 .. Je prends à l'instance connaissance de l'aide qu'une autre personne m'a apporté

@Chris21300 ,

Avec le résultat de la 2) , la limite de la suite est immédiate

Pour la 2), je pense que si tu la comprends, l'aide que je t'ai donnée est suffisante.
C'est une méthode tout à fait classique dite par télescopage.

Pour mieux voir, tu peux faire une disposition pratique :

${11×2=11−1212×3=12−13......1(n−1)(n)=1n−1−1n1n(n+1)=1n−1n+1\begin{cases} \dfrac{1}{1\times 2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\cr \dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\cr...\cr...\cr \dfrac{1}{(n-1)(n)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\cr \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \end{cases}$

Tu ajoutes membre et à membre ces n égalités (et tu simplifies le membre de droite obtenu)

Reposte si besoin.

Merci @mtschoon pour ton aide ...
Par contre cette question 2 j'ai vraiment du mal .. Pour le calcul de la limite pas de difficulté par contre ...
Je me remettrait dessus demain et si malgré mes efforts et l'aide que tu m'as déjà apporté, je ne comprends toujours pas, je reviendrai solliciter une nouvelle explication
Merci en tout cas !

@Chris21300 , bonsoir,

Pour aider ta compréhension, tu peux regarder cette vidéo
https://www.youtube.com/watch?v=QAA9R3aW-WA

@Chris21300 ,J'espère que tu as compris comment se s'implifient les expressions :
$−12+12=0-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0$
$−13+13=0-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=0$
...
...
$−1n+1n=0-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}=0$

Au final, dans la somme de droite, après simplifications, il reste seulement $1−1n+11-\dfrac{1}{n+1}$

En bien sûr, tu as trouvé la conséquence :
$lim⁡n→+∞1n+1=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$
d'où
$lim⁡n→+∞Un=1\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=1$

Bon travail.

Ah super ! Merci beaucoup @mtschoon ...Cette vidéo m'a été vraiment très enrichissante !
Du coup je ne vais pas lire tout de suite le message suivant que tu m'a envoyé et je vais utiliser cette vidéo pour tenter de répondre à la question 2 et je vérifierai ensuite avec ton message suivant !!
Encore un énorme merci !

C'est très bien @Chris21300 .
Cette méthode par télescopage te servira dans de nombreux exercices sur les sommes.

Bon travail!

Je viens de faire l'exercice et ô miracle j'ai compris !
Encore un énorme merci @mtschoon, ta vidéo m'a été vraiment très très utile !
Quel plaisir que de progresser grâce à mon travail (ben oui hein, charité bien ordonnée commence par soi-même ) mais surtout grâce à vous tous en m'éclairant de vos précieux conseils et en bénéficiant de votre grande patience :).
Je suis un papa qui a passé son Bac il y a plus de 25 ans et je prends énormément de plaisir à me remettre aux mathématiques ... Un énorme merci une nouvelle fois à tous et, pour ce problème, +particulièrement à @mtschoon

Du coup je passe à un autre exercice et je n'en doute pas, vous me verrez bientôt de retour avec un cri désespéré d'appel à l'aide