Arithmétique exercice

Bonjour,
Voici l'exercice que je dois résoudre :
Montrez que si M*P+1 est divisible par 24 alors M+P est aussi divisible par 24.
Voilà comment je m'y suis pris:

On a donc MP+1 = 0 (mod 24)
D'où 1 = -MP (mod 24)
On remarque que M possède un inverse (-P) et que P possède un inverse (-M).
On peut donc diviser par l'un des deux.
On obtient ainsi (1/-M) = P (mod 24) or les seuls diviseurs de 1 sont 1 et -1 donc M est congrue à 1 ou -1 et donc P est congrue à -1 ou 1 (resp.).
Vérifions la réciproque :
1-1 = 0 (mod 24)
Et -1 +1 = 0 (mod 24)

Je voudrais savoir que ce que j'ai fais est "licite".

D'avance merci.
Bonne journée.

@André-mathis , bonjour,

Une piste possible,

$MP≡−1[24]MP\equiv -1[24]$

$24=3×824=3\times 8$

Tu peux traiter séparément la congruence modulo 3 et la congruence modulo 8.

$MP≡−1[3]MP\equiv -1[3]$ <=> un des deux est congru à -1 et l'autre congru à 1, donc $M+P≡0[3]M+P\equiv 0[3]$

$MP≡−1[8]MP\equiv -1[8]$ <=> un des deux est congru à -1 et l'autre congru à 1, ou bien, un des deux est congru à 3 et l'autre à -3 , donc $M+P≡0[8]M+P\equiv 0[8]$

Vu que 3 et 8 sont premiers entre eux, $M+P≡0[24]M+P\equiv 0[24]$

@André-mathis Bonjour,

Le passage avec la division est à revoir.
Une piste,
Etudier séparément la divisibilité par 3, puis par 8.
Désolé mtschoon, je n'avais pas vu que tu étais en ligne.

Bonjour @Noemi
Pas de problème, nos pistes sont les mêmes.

Merci beaucoup pour vos réponses. Mais j'aimerais comprendre ce qui pêche dans le passage à la division, en soit on peut diviser car l'inverse existe.

Je comprends vos idées mais je les trouve un peu fastidieuses parce qu'il faudrait au moins dresser deux tableaux de congruences puis correctement justifier le fait qu'il n'y ait que ces deux possibilités là.

Je ne suis pas de mauvais foie j'essaye vraiment de comprendre mais pour moi le raisonnement est clean, ce qui est sûr c'est que l'on peut diviser car -M est inversible maintenant que la suite du raisonnement est mauvaise....

@André-mathis
$(−M)P≡1[24](-M)P\equiv 1 [24]$ <=> $k\in Z$ .

@mtschoon Pardon mais c'est n'importe quoi. On a pas du tout besoin de considérer k = 0. Je te cité Mathstraining

"Il existe cependant certains cas où la division est permise. Pour trouver dans quels cas cela nous est permis, il nous faut revenir à la définition première de division.
Lorsque nous travaillions sur les réels, nous savions que tout nombre non-nul admettait un inverse (pour tout x∈R0, il existe y∈R0 tel que x⋅y=1). Il nous était alors permis de diviser les deux membres d'une équation par x, puisque cela revenait à les multiplier par y. S'il nous était possible de diviser par les nombres x non nuls, c'était en fait parce que chacun d'eux possédait un inverse.
Il est donc naturel de définir une notion d'inverse modulo n

Définition
On dit que le nombre y est l'inverse de x modulo nsi x⋅y ≡ 1(mod n).

Dès lors, si n est fixé et x possède un inverse modulo n, il nous est autorisé de diviser les deux membres d'une égalité modulo n par le nombre x
(puisque cela revient à multiplier chacun d'eux par y)."

@André-mathis ,

La méthode proposée est vraiment dans l'esprit "Terminale", sans utiliser d'inverse .

Maintenant est-ce licite de conclure que M est congrue à 1 ou -1. Je pense que non car par exemple 4*7 = 1 (mod 9)
Or 1/7 n'est pas entier ni 1/4 et 7 ainsi que 4 ne sont ni congrue à -1 ni à 1. Je me suis donc trompé ( je viens de m'en rendre compte).

Je suivrai donc votre méthode.

@André-mathis ,

Je pense que tu n'as pas le choix...
Je ne vois pas d'autre méthode que celle proposée