Exercice maths sur les suites

[cestmoilesgars]

Bonsoir j’arrive pas à répondre à ces 2 question, vous pouvez m’aider svp?
Soit(un)la suite d ́efinie par u0 =1 et pour tout n∈N,un+1 = Un/1+Un
2. Conjecturer une formule pour exprimer un en fonction de n.
3. D ́emontrer cette formule par le calcul

[mtschoon]

@cestmoilesgars , bonsoir,

Je pense que tu as oublié les parenthèses ( à ton écriture sans latex) et que tu as voulu écrire :

$U_{n+1}=\frac{U_n}{1+U_n}$

Piste,
Tu calcules les premiers termes et tu devrais ainsi conjecturer l'expression souhaitée.
Sauf erreur :
$U_0=1$

$U_1=\frac{1}{2}$

$U_2=\frac{1}{3}$

$U_3=\frac{1}{4}$

$U_4=\frac{1}{5}$
...

Tu dois pouvoir conjecturer l'expression de $U_n$

Essaie de poursuivre.

[cestmoilesgars]

@mtschoon
Ah ok merci, et comment je vais démontrer cette formule par un calcul

[mtschoon]

@cestmoilesgars ,
J'espère que tu as conjecturé :
$U_n=\frac{1}{n+1}$

Une récurrence convient très bien pour la démonstration.

[cestmoilesgars]

@mtschoon
Bonjour, j’arrive pas à faire. J’ai pas réussi à démontrer la formule par le calcul.

[Black-Jack]

@cestmoilesgars a dit dans Exercice maths sur les suites :

@mtschoon
Bonjour, j’arrive pas à faire. J’ai pas réussi à démontrer la formule par le calcul.

Bonjour,

Par récurrence.

Supposons que U(n) = 1/(n+1) soit vrai pour une certaine valeur k de N, on a alors :

U(k) = 1/(k+1)

U(k+1) = U(k)/(1 + U(k))
U(k+1) = (1/(k+1))/(1 + (1/(k+1)))
...
développe et tu devrais arriver à :
U(k+1) = 1/(k+2))
U(k+1) = 1+((k+1) + 1)

Et donc si U(n) = 1/(n+1) est vrai pour une certaine valeur k de n, alors c'est encore vrai pour n = (k+1) (1)

Il faut encore monter que U(n) = 1/(n+1) est vrai pour n = 0 (2)

Et conclure à partir de (1) et (2)

[cestmoilesgars]

@Black-Jack
Ahhhhh ok ok merci maintenant j’ai bien compris merci beaucoup.